域論（Field Theory）是抽象代數(shù)的分支，是不少學(xué)科的基礎(chǔ)，是代數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，且歷史悠久。研究域的性質(zhì)，簡單地說，一個域是在其上有"加法"、"減法"、"乘法"和"除法"的代數(shù)結(jié)構(gòu)。域是許多數(shù)學(xué)分支(如代數(shù)、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何等)研究的基礎(chǔ)，而有限域則在近代編碼、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)理論中都有重要應(yīng)用，通過理想來研究環(huán)，這是研究環(huán)的基本方法。但是，由于域只有平凡理想，因此無法通過域的理想來研究域，要研究域，必須采取別的方法，其中最基本的方法就是通過對域添加若干元進(jìn)行擴(kuò)張，域的擴(kuò)張起源于數(shù)域的擴(kuò)張。
發(fā)展歷程
早在19世紀(jì)初，埃瓦里斯特·伽羅瓦在研究代數(shù)方程的著作里就出現(xiàn)了域的概念的萌芽，后來戴德金(J.W.R.Dedekind)和克羅內(nèi)克(L.Kronecker)在不同背景下也提出了域的概念。系統(tǒng)研究域的理論始于韋伯(H.Weber)，而域的公理系統(tǒng)是迪克森(L.E.Dickson)和塞繆爾·亨廷頓(E.V.Huntington)分別于1903和1905年獨(dú)立創(chuàng)立的。在韋伯等人的影響下，施泰尼茨(E.Steinitz)對抽象域進(jìn)行了系統(tǒng)研究，于1910年發(fā)表論文“域的代數(shù)理論”，對域論本身以及相關(guān)科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生重大影響。
域的概念最初被尼爾斯·阿貝爾和埃瓦里斯特·伽羅瓦隱含地用于他們各自對方程的可解性的工作上。
1871年，戴德金將對于四則運(yùn)算封閉的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)集稱為“域”。
1881年，克羅內(nèi)克定義了“有理域”（英文：domain of rationality，德語：Rationalit?ts-Bereich），相當(dāng)于今稱之?dāng)?shù)域。
1893年，安里西·韋伯給出抽象域的首個清晰定義。
1910年，施泰尼茨于1911年發(fā)表了論文《域的代數(shù)理論》（英文：Algebraic Theory of Fields、德文：Algebraische Theorie der K?rper）。論文中他以公理化的方式研究了域的性質(zhì)并給出了多個域的有關(guān)術(shù)語，比如素域、完全域，和域擴(kuò)張的超越次數(shù)。
雖然埃瓦里斯特·伽羅瓦并未提出域的概念，但一般被譽(yù)為是首個將群論和域論連系起來的數(shù)學(xué)家，伽羅瓦理論便以他命名。事實(shí)上，埃米爾·阿廷在1928至42年間才將群和域的關(guān)系大大地發(fā)展。
基礎(chǔ)知識介紹
一個交換除環(huán)稱 域。即若F至少含有兩個元素，且有兩個代數(shù)運(yùn)算+， ·，F(xiàn)對+及F非零元集對 ·均為交換群，F(xiàn)對+滿足分配律。研究域的代數(shù)分支稱 域論。一個含無窮多元素的域稱 無限域；一個含有限個元素的域稱 有限域或 伽羅瓦域。由于域是交換單環(huán)，無真理想，因而域不能像群、環(huán)那樣，通過對不變子群，商群或理想、商環(huán)來討論。常用的方法是從已知域出發(fā)，研究它的 擴(kuò)域。
一個不含真子域的域稱 素域，有理數(shù)域Q是特征0的素域，是特征p的素域。并且若F是域， 時，F(xiàn)含與Q同構(gòu)的素子域；時，F(xiàn)含與 同構(gòu)的素子域。
若F是E的 子域，即E是F的 擴(kuò)域，記為E/F 。若E/F，且，E的含F(xiàn)，的最小子域記為。為添加 于F所得的單擴(kuò)域，且；若，E的添加于F的最小子域記為。
若，且存在多項(xiàng)式 使，稱 為F上 代數(shù)元，否則稱為F上 超越元；若E/F，且E中元均為F上代數(shù)元，則稱E是F的 代數(shù)擴(kuò)域；若是F上代數(shù)元，則 是F的 代數(shù)擴(kuò)域，稱為F的 單代數(shù)擴(kuò)域，添加一個超越元所得擴(kuò)域即為 單超越擴(kuò)域。單代數(shù)擴(kuò)域與單超越擴(kuò)域有不同的結(jié)構(gòu)：若 為F上超越元，則 的商域；若 為F上代數(shù)元，則 ，其中p(x)是F上首1的不可約多項(xiàng)式，且時。稱p(x)為 在F上的極小多項(xiàng)式。并且若，則 。
給定擴(kuò)域，E作為F上向量空問，若，稱n為E在F上的次數(shù)，記作。若有限，稱E為F上 有限擴(kuò)域，否則稱為 無限擴(kuò)域。若有域列，且皆有限，則有限，且。一般，若，且 有限，則 有限，且 。單代數(shù)擴(kuò)域 是F的有限擴(kuò)域，若在F上的極小多項(xiàng)式為，則。并且F的每個有限擴(kuò)域一定是F的代數(shù)擴(kuò)域；若 均為F上代數(shù)元，則 是F的有限擴(kuò)域，因而是 代數(shù)擴(kuò)域。
每一個次數(shù)大于0的數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式在給定的數(shù)域上未必能分解成一次因式之積，但代數(shù)基本定理保證了每一個次數(shù)大于0的多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)范圍都可分解為一次因式之積。如果F上每一個次數(shù)大于0的多項(xiàng)式均可分解為F上一次因式之積，稱F為 代數(shù)閉域，此時F不再有真的代數(shù)擴(kuò)域。每個域F均存在代數(shù)擴(kuò)域E，使E為代數(shù)閉域；復(fù)數(shù)域是代數(shù)閉域。
若E是F的擴(kuò)域，對于F上多項(xiàng)式，在E上可以分解為一次因式之積，并且對F的任一較小擴(kuò)域I，在J上不能分解為一次因式之積，稱E為在F上的 分裂域或 根域。對于F上每個多項(xiàng)式，同構(gòu)的意義下均存在唯一的分裂域。一個多項(xiàng)式的分裂域依賴于這個多項(xiàng)式系數(shù)所在的域，如作為有理系數(shù)多項(xiàng)式，其分裂域?yàn)椋鳛閷?shí)系數(shù)多項(xiàng)式，其分裂域仍為R。若， ，在E上，則 在F上分裂域 。
有限域是一類重要的域，有限域的特征為 素?cái)?shù)。設(shè)F為特征p的有限域，△為F的 素子域，且,則，且F是 在△上分裂域。對任何素?cái)?shù)p及正整數(shù)n，均存在 個元的有限域，且同構(gòu)意義下唯一。有限域結(jié)構(gòu)簡單：若F是有限域，△為F的素域，則存在F中， 。有限域的非零元構(gòu)成的乘群皆為 循環(huán)群。若，則。利用有限域的性質(zhì)可以構(gòu)造出各種對稱性質(zhì)的組合結(jié)構(gòu)，如正交拉丁方，平衡區(qū)組設(shè)計(jì)等，這些組合結(jié)構(gòu)有效地應(yīng)用于試驗(yàn)設(shè)計(jì)，通信系統(tǒng)等許多實(shí)際領(lǐng)域中，特別隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)蓬勃發(fā)展，有限域理論成了廣大工程技術(shù)人員不可缺少的數(shù)學(xué)工具。
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