逼近理論是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，它探討如何用較簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)找到對(duì)復(fù)雜函數(shù)的最佳逼近，并且能夠量化產(chǎn)生的誤差。這個(gè)“最佳”的定義和“較簡(jiǎn)單”的函數(shù)的選擇會(huì)根據(jù)不同的應(yīng)用場(chǎng)景而有所變化。
基本介紹
逼近理論在數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要應(yīng)用是通過(guò)廣義傅立葉級(jí)數(shù)進(jìn)行函數(shù)逼近，即利用正交多項(xiàng)式構(gòu)成的級(jí)數(shù)來(lái)逼近目標(biāo)函數(shù)。在計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域，逼近理論關(guān)注如何使用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器能夠執(zhí)行的基本運(yùn)算（如乘法和加法）來(lái)盡可能地逼近數(shù)學(xué)函數(shù)。這通常涉及使用多項(xiàng)式或有理函數(shù)（即兩個(gè)多項(xiàng)式的商）來(lái)實(shí)現(xiàn)。逼近理論的目標(biāo)是盡可能地逼近實(shí)際的函數(shù)，通常要求精度接近電腦浮點(diǎn)運(yùn)算的精度。為了達(dá)到這一目標(biāo)，通常會(huì)使用高次多項(xiàng)式，并縮小多項(xiàng)式逼近函數(shù)的區(qū)間。現(xiàn)代數(shù)學(xué)函數(shù)庫(kù)通常會(huì)將函數(shù)的定義區(qū)間劃分為多個(gè)小區(qū)間，并為每個(gè)小區(qū)間配備一個(gè)次數(shù)較低的多項(xiàng)式。
最佳多項(xiàng)式
在逼近理論中，確定了多項(xiàng)式的次數(shù)和逼近的范圍后，可以根據(jù)最小化最壞情形誤差的原則來(lái)選擇逼近多項(xiàng)式。這意味著目標(biāo)是最小化逼近多項(xiàng)式P(x)與實(shí)際函數(shù)f(x)之間的絕對(duì)誤差。對(duì)于良態(tài)的函數(shù)，存在一個(gè)N次多項(xiàng)式，使得誤差曲線在正負(fù)ε之間震蕩至多N+2次，且最壞情形的誤差為ε。一個(gè)N次多項(xiàng)式可以內(nèi)插曲線中的N+1個(gè)點(diǎn)。雖然存在一些極端的函數(shù)，可能無(wú)法找到滿足上述條件的多項(xiàng)式，但在實(shí)際應(yīng)用中很少需要為這樣的函數(shù)進(jìn)行逼近。
切比雪夫近似
切比雪夫近似是一種特殊的逼近方法，它通過(guò)將函數(shù)展開為切比雪夫多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)，根據(jù)所需的逼近程度確定展開的項(xiàng)次，從而得到一個(gè)接近目標(biāo)函數(shù)的多項(xiàng)式。這種方法類似于傅立葉分析，但是使用切比雪夫多項(xiàng)式代替了三角函數(shù)。切比雪夫近似的一個(gè)特點(diǎn)是，當(dāng)函數(shù)的切比雪夫展開被截?cái)鄷r(shí)，產(chǎn)生的誤差近似于截?cái)嗪蟮牡谝豁?xiàng)。切比雪夫多項(xiàng)式在[-1, 1]區(qū)間內(nèi)的值在+1和-1之間震蕩，因此切比雪夫近似的誤差近似于一個(gè)有N+2個(gè)極點(diǎn)的函數(shù)，這使得它成為近似最佳的N次多項(xiàng)式。切比雪夫近似也是數(shù)值積分方法Clenshaw–Curtis正交法的基礎(chǔ)。
雷米茲算法
雷米茲算法是由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家雷米茲在1934年提出的，用于生成在一定區(qū)間內(nèi)逼近函數(shù)f(x)的最佳多項(xiàng)式P(x)。這是一種迭代算法，最終會(huì)收斂到使誤差函數(shù)在N+2個(gè)極值處的多項(xiàng)式。算法的基礎(chǔ)是可以創(chuàng)建一個(gè)N次多項(xiàng)式，其誤差函數(shù)在0附近震蕩，且有N+2個(gè)測(cè)試點(diǎn)。通過(guò)解一組線性方程組，可以求解出多項(xiàng)式P及誤差ε。雷米茲算法的第二步是將測(cè)試點(diǎn)移到誤差函數(shù)有最大值或最小值的位置，通常使用切線法來(lái)確定新的測(cè)試點(diǎn)位置。算法需要計(jì)算f(x)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，且精度要求很高。雷米茲算法的收斂速度很快，對(duì)于良態(tài)的函數(shù)，它是二次收斂的。在使用雷米茲算法時(shí)，通常會(huì)選擇切比雪夫多項(xiàng)式T_{N+1}的零點(diǎn)作為初始測(cè)試點(diǎn)，因?yàn)樽罱K的誤差函數(shù)會(huì)類似于切比雪夫多項(xiàng)式。
參考資料 >