切比雪夫多項(xiàng)式是與棣美弗定理有關(guān)，以遞歸方式定義的一系列正交多項(xiàng)式序列。通常，第一類切比雪夫多項(xiàng)式以符號(hào)Tn表示，第二類切比雪夫多項(xiàng)式用Un表示。切比雪夫多項(xiàng)式 Tn 或 Un 代表 n 階多項(xiàng)式。
基本介紹
切比雪夫多項(xiàng)式在逼近理論中有重要的應(yīng)用。這是因?yàn)榈谝活?a href="/hebeideji/3835609680323732564.html">切比雪夫多項(xiàng)式的根（被稱為切比雪夫節(jié)點(diǎn)）可以用于多項(xiàng)式插值。相應(yīng)的插值多項(xiàng)式能最大限度地降低龍格現(xiàn)象，并且提供多項(xiàng)式在連續(xù)函數(shù)的最佳一致逼近。
在微分方程的研究中，數(shù)學(xué)家提出切比雪夫微分方程
和
基本性質(zhì)
對(duì)每個(gè)非負(fù)整數(shù)，和 都為次多項(xiàng)式。并且當(dāng)為偶（奇）數(shù)時(shí)，它們是關(guān)于的偶（奇）函數(shù)，在寫成關(guān)于的多項(xiàng)式時(shí)只有偶（奇）次項(xiàng)。
時(shí)，的最高次項(xiàng)系數(shù)為?，時(shí)系數(shù)為1。
按切比雪夫多項(xiàng)式的展開式
一個(gè)次多項(xiàng)式按切比雪夫多項(xiàng)式的展開式為如下：
多項(xiàng)式按切比雪夫多項(xiàng)式的展開可以用 Clenshaw 遞推公式計(jì)算。
第一類切比雪夫多項(xiàng)式
由以下遞推關(guān)系確定
也可以用母函數(shù)表示
第二類切比雪夫多項(xiàng)式
由以下遞推關(guān)系給出
此時(shí)母函數(shù)為
參考資料 >