真值表（truth table），又稱真假值表、邏輯真值表、邏輯狀態表，它是邏輯中用來確定表達式是真實或者有效的一種數學表。真值表中，每個命題都被判定為真或者假，真、假被稱之為真值，通常用符號“1”或“T”表示真，“0”或“F”表示假。
真值表起源于邏輯學的興起，古希臘時代，麥加拉學派的菲羅（Philo of Megara）將命題的推理當成真值蘊涵去處理，形成了真值表的早期思想，中世紀邏輯學家對該理論進行了延伸。1879年，德國邏輯學家弗雷格（Frege）在《概念文字》一書中為明確表示布爾的展開時使用了真值表，用來定義各種函數（即真值形式），真值表被正式提出。進入20世紀，真值表進一步被研究和使用。1902年，美國邏輯學家皮爾斯（Peirce）發表了《最簡單的數學》一文，列出了一個等價真值表，將真值表發展成為命題演算的一般判定方法。1918年，維特根斯坦（Wittgenstein）發表《邏輯哲學論》一書，闡述了自己的邏輯思想并提出了命題真值表的定義。同年，英國哲學家伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素（Russell）在倫敦舉行的“邏輯原子論的哲學”第三次講座中，使用了一個修改過的真值表。而盧卡西維茨（Lukasiewicz）和波斯特（Post）分別給出了三值邏輯、多值邏輯的真值表。
真值表可以直觀地反映變量取值和函數間的關系；但當變量較多時，使用起來會比較復雜。真值表具有定義和判定兩種作用，其中判定兩個復合判斷是否等值為判定作用的具體體現，它可以用來證明德摩根律。將真值表進行簡化，可得到只適用于蘊涵式的簡化真值表。此外，真值表在現實世界中應用廣泛，如在物理學中，應用真值表方法對無絕緣軌道電路補償電容進行重要性評估，可以為維護人員提供監測依據。
定義
真值表是邏輯中用來確定表達式是真實或者有效的一種數學表。它是使用表格表示邏輯函數結果的方法，通過定義一個函數輸入的所有可能組合，然后依次計算每個組合的輸出。真值表中，每個命題都被判定為真或者假，真、假被稱之為真值，通常用符號“”或“”表示真，用符號“”或“”表示假。
布爾函數的真值表：對任何布爾函數可以構造真值表。假設函數有個參數，每個參數都有兩個可能的值，那么只有種可能的參數組合可以全部列出。對于每個列表條目，可以添加函數值，形成函數的真值表。真值表是對函數的一個完整而明確的定義，它給出了每個可能情況下的函數值，顯示了輸入狀態的每種可能組合的輸出狀態。
簡史
早期研究
真值表起源于邏輯學的興起，約公元前4世紀，古希臘哲學家柏拉圖（Platon）已經開始對真與假這個邏輯問題進行了研究。后來，麥加拉學派的菲羅（Philo of Megara）認為，一個假言命題是正確的，便不是一個真的起始和一個假的結尾，他將命題的推理當成真值蘊涵去處理，形成了真值表的早期思想。中世紀邏輯學家的推論是菲羅蘊涵的延伸，他們認為“具有真假含義的陳述是命題”，直言命題由主詞、謂詞、聯結詞組成，它可以按量的差別，劃分為全稱、特稱、單稱命題；假言命題由兩個簡單命題聯結而成；復合命題又可分三類：條件命題，聯言命題，選言命題等。對于假言命題的真值條件，他們討論較多，認為一個真的假言命題就是“推論”，因此確定假言命題的真值條件，就等于要定義“推論”這個詞。
19世紀中葉，英國數學家布爾（Boole）創造了以他名字命名的代數結構，建立起邏輯的代數運算系統。在他的著作中，布爾（Boole）用“”和“”表示真、假，而復雜命題的真、假值可以通過組合得到。布爾通過函數展開的形式討論了真值函數及其所具析取范式的表述。1879年，德國邏輯學家弗雷格（Frege）在《概念文字》一書中為明確表示布爾的展開時使用了真值表，用來定義各種函數（即真值形式），真值表由此被正式提出。
后續發展
進入20世紀，真值表進一步被研究和使用。1902年，美國邏輯學家皮爾斯（Peirce）發表了《最簡單的數學》一文，列出了一個等價真值表，將真值表發展成為命題演算的一般判定方法。后來，波蘭邏輯學家盧卡西維茨（Lukasiewicz）在皮爾斯的基礎上提出了三值邏輯真值表。1918年，維特根斯坦（Wittgenstein）發表《邏輯哲學論》一書，闡述了自己的主要邏輯思想，并提出了命題真值表的定義、永真命題與永假命題的區分等內容。同年，英國哲學家伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素（Russell）在倫敦舉行的“邏輯原子論的哲學”第三次講座中，使用了一個修改過的真值表。次年，他在《數學哲學導論》一書中也提到了真值表。1921年，美國邏輯學家波斯特（Post）在他的論文《分子命題的一般理論導論》中對三值邏輯進一步推廣，提出了多值（任意有窮多個值）的邏輯真值表，也用真值表闡述了不同于以往的否定方式。
后來，學者們肯定了真值表的作用，并開始研究提升計算效率的方法。1946年，邏輯學家阿爾弗雷德·艾耶爾（Ayer）在《語言真理與邏輯》一書中提出道德命題不是經驗命題，它們不能夠通過觀察來獲知真假，也不是先天命題，可以通過真值表來必然地顯示出真假。1947年，由當時哈佛大學的兩個大學生威廉·伯克哈特（William Burkhart）和西奧多·卡林（Theodore A.Kalin）制造的邏輯真值計算器，可以在真值表中通過隔離行來處理12個項。
特性
優點
真值表的優點是能直觀、清晰地反映變量取值和函數間的關系，具體如下：
（1）輸入變量取值一旦確定之后，便可在真值表中查出相應的函數值。
（2）真值表表示形式唯一，一個邏輯函數只有一個真值表，判斷邏輯關系方便。
（3）在把一個實際邏輯問題抽象成為邏輯函數時，采用真值表較為方便。
（4）真值表相對容易理解，不涉及任何公式，卻可以精確地描述任何布爾公式的結果。
（5）在縮寫形式中，真值表可作為布爾運算的簡潔描述。
局限性
真值表的缺點是當變量較多時，就會變得比較繁瑣復雜，具體如下：
（1）真值表不能進行定律、定理的運算。
（2）真值表不能用于檢驗簡單推理。具體而言，命題邏輯中的推理，即復合推理，其有效性是通過命題之間的連結而顯示的，謂詞邏輯中的推理，即簡單推理，其有效性卻是通過詞項之間的聯系顯示出來的，真、假是命題的屬性并非詞項的屬性，所以可以只用真值表去研究復合推理的有效性，但不能只用真值表去研究簡單推理的有效性。
作用
定義作用
定義作用：真值表可以用來作為定義命題聯接詞的邏輯工具。
在命題邏輯中，“”（表示否定），“”（表示析?。?，“”（表示合取），“”（表示蘊涵），“”（表示相互蘊涵，即等值）等命題聯結詞，可以通過真值表分別加以定義。表示命題邏輯聯結詞的符號運算子的涵義是一種真值函項，運用真值表的方法可以滿足各種符號運算子的精確定義包括其所含有的命題（即復合命題的支命題）真值組合的全部可能情況，即揭示出所含命題（即支命題）的真值組合的全部可能情況，給出各種符號運算子的精確定義。
判定作用
判定作用：真值表可以用來作為確定命題表達式真值的邏輯工具。
在命題邏輯中，命題表達式的真假情況（即真值）常常是需要加以判定的，為此，就需要制定一種可行的方法，即按照一定規則給定的程序，在有窮步驟內完成判定的一種方法。真值表方法可以利用真值表來制定出一個命題邏輯的機械判定的程序，使之能對所有表達式或推理形式的真假情況進行判定。真值表判定作用的具體體現為：
（1）判定命題表達式為永真式；
（2）判定復合判斷推理是否為有效式；
（3）判定命題表達式為永假式；
（4）判定任意兩個表達式之間的各種關系，如判斷等值關系、判斷矛盾關系、判斷反對關系等；
（5）運用真值表可以解決實際問題。
例：設下列三句話中一句為真，兩句為假。列出真值表并回答甲是不是工人，乙是不是營業員。
、如果甲是工人，那么乙是營業員。
、如果乙是營業員，那么甲是工人。
、乙不是營業員。
解：令表示“甲是工人”，表示“乙是營業員”：
從上面真值表可知：第三行符合題意，故當三句話中一句話為真，兩句話為假時，甲不是工人，乙是營業員。
相關概念
布爾運算
布爾運算又稱邏輯運算，通過對兩個以上的物體進行并集、差集、交集運算，從而得到新實體特征，用于處理實體造型中多個實體的合并關系。它對于兩個邏輯型數據進行邏輯運算，其運算結果仍為邏輯型數據，即“”（真）或“”（假）。
基本運算
與運算：與運算的運算符號是“”或“”或“”或是空。是與運算邏輯函數，稱為的與運算表達式。在與運算的真值表中，只有輸入變量和的取值都為“”時，輸出變量的值才為“”。
或運算：或運算的運算符是“”或“”。是或運算邏輯函數，稱為的或運算表達式。在或運算的真值表中，只有輸入變量和的取值都為“”時，輸出變量的值才為“”。
非運算：非運算的運算符號是“”或“—”。是非運算邏輯函數，是非運算的邏輯表達式，在邏輯函數中，稱為反變量，稱為原變量。在非運算的真值表中，當輸入變量的取值是“”時，輸出變量是“”。
其他運算
蘊含運算：蘊含運算的運算符號是“”。是蘊含運算邏輯函數，是蘊含式，讀作“蘊含”，也可以讀作“如果，則”，蘊含式中輸入變量為條件，為結論。在蘊含運算的真值表中，當輸入變量的取值為“”、的取值為“”時，輸出變量的值為“”；否則為“”。
等價運算：等價運算的運算符號是“”。是等價運算邏輯函數，稱為的等價式，可讀作“等價”，也可讀作“當且僅當”。在等價運算的真值表中，當輸入變量和的取值都為“”或都為“”時，輸出變量的值為“”；否則為“”。
或非運算：或非運算由或運算和非運算導出，先對變量進行或操作，再進行非操作，記為。在或非運算的真值表中，只有輸入變量和的取值都為“”時，輸出變量的值才為“”。
與非運算：與非運算由與運算和非運算導出，先對變量進行與操作，再進行非操作，記為。在與非運算的真值表中，只有輸入變量和的取值都為“”時，輸出變量的值才為“”。
異或運算：異或運算的運算符是“”。是異或運算邏輯函數。在異或運算的真值表中，當輸入變量與的取值相同時，輸出變量是“”；當輸入變量與的取值相反時，輸出變量是“”。
同或運算：同或運算也可以稱為異或非運算，其運算符是“”，是同或運算邏輯函數。在同或運算的真值表中，當輸入變量與的取值相同時，輸出變量是“”；當輸入變量與的取值相反時，輸出變量是“”。
相關定律
德摩根律
德摩根律包括兩條規則：；。德摩根律湊齊了基本的布爾等式表，由它可知：為了求布爾函數的反，應將所有或運算變成與運算，所有與運算變成或運算，并對每個二進制符號求反。
證明：從邏輯上通過將兩個真值表合并，可以創建一個“雙重真值表”。因此合并的兩個真值表的左側（即原子變元的賦值）是相同的，所以只給出第一條豎線左側的對原子變元的賦值。第二條豎線用于分隔將要合并的兩個真值表的右側。通過這種方式可以計算和的真值，如下表，第四列和最后一列是相同的。因此，德摩根律的第一個規則是正確的。通過類似的過程可以驗證德摩根律的第二個規則。
方法變形
簡化真值表
簡化真值表方法也稱歸謬賦值法，是結合真值表方法，再運用歸謬法來判定蘊涵式是否是重言式的方法?；舅悸肥牵簽榱藱z驗一蘊涵式是否是重言式，先使用反證法，假定該蘊涵式假；然后依此假定按照一定順序給蘊涵式前后件包含的支命題或命題變項賦值。如果賦值結果是某個變項出現了邏輯矛盾，即說明原先的假設是不正確的，因而證明了該公式是重言式；如果賦值不出現矛盾，說明原先的假設正確，因此，該公式不是重言式。
聯系：該方法作為真值表方法的改進形式，可以適應更加復雜的公式，但是，它只適用于蘊涵式。在很多場合中，同樣用來判定一個真值形式是否為重言式的真值樹方法比該方法更有效。
例題
例：用簡化真值表法判定是否為重言式。
解：（1） 假 （假設）
（2） 真 （據（1））
（3） 假 （據（1））
（4） 真 （據（2））
（5） 真 （據（4））
（6） （3）（5）矛盾
所以是重言式。
構造
方法
真值表說明了相應的復合命題與所含支命題之間的真假關系，任一復合命題，不論多么復雜，它的真值形式都是由簡單命題（命題變項）和五個基本的真值聯結詞，經過有限次各種各樣的復合而逐步構成的。構造真值表與真值形式的形成過程有關，構造過程由簡單到復雜，具體步驟如下：
（1）找出給定形式里的所有簡單命題，根據構成過程，由簡而繁地將該形式的各個組成部分排成一行，最后一個為該真值形式，從而決定了該真值表的列數。
（2）列出該形式的所有簡單命題的各種取真假值的情況，從而決定該真值表的行數。
（3）根據五個聯結詞的真值表，求出各個組成部分的真值，最后得出此形式的真值。
例題
例：列出公式的真值表。
解：在公式中加括號得。
（1）列出所有的子公式：。
（2）把所有互不相同的命題變元按字母排序的先后次序從左到右排放在表頭的最左邊，并在的下方列出公式的所有賦值，依次為，，，，，，，。當命題公式中含有個命題時，個命題共有種取值情況，故對應的真值表中一共有行。
（3）按公式層次從低到高排列子公式：。對每組真值指派逐個計算子公式的真值，直至得到整個公式的真值，如下表所示：
類似理論
邏輯表達式
邏輯表達式指由邏輯變量和與、或、非三種運算符連接起來所構成的式子。與真值表不同，它的特點是形式簡單、書寫方便，便于進行運算和轉換，但表達式形式不唯一。在邏輯表達式中，等式右邊的字母等稱為輸入邏輯變量，字母上面沒有非運算符的叫做原變量，有非運算符的叫做反變量，等式左邊的字母稱為輸出邏輯變量。
相互轉換
由邏輯表達式轉化為真值表：
方法1：將輸入變量的所有取值一一代入邏輯函數表達式中，求出所對應的邏輯函數值，再將它們列成表格即可得到真值表。
方法2：先將邏輯函數表達式轉換為標準的“與一或表達式”，再將式中每個最小項對應的函數值填為“”，其余的最小項填為“”。
由真值表轉化為邏輯表達式：
從真值表中找出輸出為“”的各行，把每行的輸入變量寫成乘積項，若輸入狀態為“”則寫成“非”的形式，否則為原變量，然后相加各乘積項就得到邏輯表達式。
應用
物理學
在物理學中，真值表可以應用于無絕緣軌道電路補償電容的重要性評估。方法的基本思想是：通過建立無絕緣軌道電路調整態和分路態模型，并仿真得到補償電容斷線時全部故障類型的調整態接收電壓和分路態分路電流幅值曲線；提取相應的接收電壓和最小分路電流與其閾值進行對比分析，建立無絕緣軌道電路可靠性真值表；基于可靠性真值表計算各補償電容的重要度系數，并通過柱形圖確定對無絕緣軌道電路影響較大的補償電容位置，為現場維護人員的重點監測提供依據。
計算機科學
真值表在計算機科學的應用體現在示例編程上，在使用二進制作為示例格式的示例編程中，真值表可以自動化生成函數。該編程是指給定一個布爾向量函數和一組語法規則，通過少量的采樣構造一個函數表達式。而針對真值表函數自動生成問題具有函數表達式的語法符號序列中各語法符號的關系與它們的距離大小無關等特點，可以設計一種神經網絡模型和算法，該模型在程序綜合、功能等價和序列匹配的指標上都優于先進的程序綜合模型。
工程學
工程學中，真值表可以用于控制器點火開關檔位的判斷。而針對該方法進行優化，通過窮舉法列出全部可能性，并逐一進行分析和評判，可以有效避免因1個或2個點火開關信號異常導致控制器不能有效識別點火開關檔位的故障，提高控制器的故障容許度或糾錯能力，從而保證控制器能按照設計者的意圖進行工作。更進一步，優化后的點火開關真值表在實際測試過程中，能有效地對線束的故障和點火開關的故障進行兼容，從而保證車輛使用過程中的安全功能。
參考資料 >
truth table.britannica.2024-05-24