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胡克定律（Hooke's law），也稱羅伯特·胡克定律，是力學彈性理論中的一條基本定律，表述為：固體材料受力之后，材料中的應力與應變（單位變形量）之間成線性關系。滿足胡克定律的材料稱為線彈性或胡克型（英文Hookean）材料。從物理的角度看，胡克定律源于多數固體（或孤立分子）內部的原子在無外載作用下處于穩定平衡的狀態。

胡克定律以17世紀英國物理學家羅伯特·胡克（Robert Hooke）的名字命名。胡克提出該定律的過程頗有趣味，他于1676年首次以拉丁語字謎形式表述了該定律，謎面是：ceiiinosssttuv。1678年，公布了謎底：ut tensio，sic vis，譯作“延伸與力成正比”。胡克定律是支配力學系統的重要規律，其可以表述為對于微小的形變，力學系統的響應是線性的。

胡克定律僅適用于特定加載條件下的部分材料。鋼材在多數工程應用中都可視為線彈性材料，在彈性范圍內（即應力低于屈服強度時）胡克定律都適用。另外一些材料（如鋁材）則只在彈性范圍內的一部分區域行為符合胡克定律。對于這些材料需要定義一個應力線性極限，在應力低于該極限時線性描述帶來的誤差可以忽略不計。還有一些材料在任何情況下都不滿足胡克定律（如橡膠），這種材料稱為“非胡克型”（neo-hookean）材料，如橡膠。

胡克定律廣泛應用于磅秤制造、應力分析、材料模擬等領域。除此外，胡克定律也涉及物理學和力學，是地震學等許多學科的基礎。

發展簡史

東漢的經學家和教育家鄭玄（公元127-200）為《周禮·冬官考工記·弓人》一文中的“量其力，有三鈞”一句作注解時，在《周禮注疏·卷四十二》中寫到：“假令弓力勝三石，引之中三尺，馳其弦，以繩緩擐之，每加物一石，則張一尺。”這一注解正確提示了力與形變成正比的關系，而鄭玄的發現要比胡克早一千五百年，因此有物理學家認為胡克定律應稱之為“鄭玄-胡克定律”。??

1678年，羅伯特·胡克定律是由英國力學家胡克(Robert Hooke，1635-1703) 發現的。

1678年，羅伯特·胡克發表了題為《Spring（彈簧）》的論文，它包含了胡克對于彈性體的實驗結果。文章在描述他的實驗時說：“取一根長20、或30、或40英尺的金屬絲，把上端同釘子系牢，而下端系一彈簧秤以承受砝碼。用兩腳規量出自秤盤底至地面的距離，把這一距離記下來。再將若干砝碼加到秤盤上，并順序記下金屬絲的伸長量。最后比較這些伸長量便可以看到砝碼與砝碼引起的伸長量彼此之間存在著同樣的比例。”

羅伯特·胡克一共用四種彈性物體來進行他的實驗。除了金屬絲之外還有：一個軸鉛垂的金屬螺旋線，上端固定下端系秤盤和砝碼，隨著載荷增加螺旋成正比例地伸長。

把一根鐘表發條上緊成垂直的螺旋，內端固定，外端附著在一個與此發條同軸的輕巧的齒輪的輪轂上，后者盤繞著一根絲線，絲線的自由端懸吊一個很輕的秤盤，秤盤中加多大的砝碼，這齒輪便旋轉相應的角度。給干燥木質的懸臂梁的自由端加上載荷，撓曲變形呈現的結果符合該定律。

起初，羅伯特·胡克在做實驗的過程中，發現“彈簧上所加重量的大小與彈簧的伸長量成正比”，他又通過多次實驗驗證自己的猜想。1678年，羅伯特·胡克寫了一篇《彈簧》論文，向人們介紹了對彈性物體實驗的結果，為材料力學和彈性力學的發展奠定了基礎。

1680年，法國的馬里奧特（E.Mariotte）也獨立地提出了彈性體變形與所受外力成正比的定律。

19世紀初，英國科學家托馬斯·楊（Tomas）總結了胡克等人的研究成果，指出：如果彈性體的伸長量超過一定限度，材料就會斷裂，彈性力定律就不再適用了，明確地指出彈性力定律的適用范圍。后人為紀念悉尼·胡克的開創性工作和取得的成果，便把這個定律叫做胡克定律。

主要內容

胡克定律的內容是：在小變形情況下，固體的變形與所受的外力成正比。如每當金屬絲上的拉力增加一倍時，絲的伸長也增加一倍，比例系數與材料性質有關。對于大多數固體，胡克定律與實際很相符合。對于復雜的三向應力狀態，有所謂廣義胡克定律。它是原始定律的自然推廣:當應變微小時，在物體給定點上的應力分量為該點應變分量的線性齊次函數。對于沿任何方向力學性質都相同的各向同性彈性體，與材料有關的獨立彈性系數只有兩個;對于一般的各向異性彈性體，獨立的彈性系數達21個。若物體是不均勻的，則彈性系數是空間點的函數。對于胡克定律，柯西（Cauchy）等科學家曾從分子、原子論和熱力學理論來解釋。

簡單應力狀態的胡克定律

單向拉伸時，有，。

式中，，為橫向收縮應變；為縱向拉伸應變；為正彈性模量；泊松比；為拉應力。

當剪切和扭轉時，有。式中，為切應力；為切彈性模量；為切應變。

E、G、的關系有。

廣義虎克定律

羅伯特·胡克于1678年根據實驗結果提出，在小變形情況下，固體的變形與所受的外力成正比，這就是胡克定律，也可以表達為:在應力低于比例極限情況下，固體中的應變與應力成正比。將其推廣到復雜的三向應力狀態，就得到應力分量與應變分量之間的線性關系，稱為廣義胡克定律。該定律表述為，在小應變條件下，彈性固體任意一點處的應力分量為該點應變分量的線性齊次函數。彈性物體在連接載荷時縱向形變規律滿足廣義胡克定律，其縱向形變是視覺上可信的，繩索在懸掛載荷拉伸后，橫向也應該對應發生形變。

實際構件受力狀態都比較復雜，應力往往是兩向或三向的，這樣的應力狀態稱為復雜應力狀態。一個構件上任意一點的受力狀態，可用其單元體上的 9 個應力分量表示，其張量表示為：

根據切應力互等原理，。這樣，實際上一點的應力狀態只有 6 個獨立應力分量為：。其中，前三個為正應力，后三個為切應力。切應力的腳標，第一個表示力所作用平面的法線方向，第二個表示力作用的方向。

復雜應力狀態下任一點的應變也可借用單元體的 9 個應變分量表示。其張量表示式為

實際上也只有 6 個獨立分量。其中，前三個是正應變，后三個是切應變。

這樣，將上述 6 個應力分量和應變分量用彈性系數聯系起來，就構成了廣義虎克定律，其表達式為：

上述 6 個應力分量隨單元體的取向不同而變化，但是總的應力效果，即是不變的，所以可以任意去取單元體的方位。設想取這樣一種方位的單元體，其上只有三個正應力分量而無切應力分量，這樣的單元體叫做主應力單元體，其上的三個正應力分量稱為主應力。此時應力的張量表示式為：

顯然，主單元體上也只有三個主應變，其應變張量表示式為：

此時的廣義虎克定律表達式為：

適用范圍

對于固體材料來說受到外因之后都可以發生形變，此時在物體內各部分之間產生相互作用的內力，以抵抗這種外因的作用，并試圖使物體從變形后的位置恢復到變形前的位置，在所考察的截面某一點單位面積上的內力稱為應力（σ），而變形的程度稱應變（ε）。

彈性階段

在應力低于比例極限的情況下，固體中的應力σ與應變ε成正比，即σ=Εε，式中E為常數，稱為彈性模量或楊氏模量。E是材料本身的性質，與材料的宏觀形狀無關。事實上，除非彈性體的材料外，只要其在比例極限的范圍內，都符合胡克定律。

彈性極限范圍

應力超過比例極限后，應力與應變間成非線性關系。但拉力解除后，變形仍可全部消失，這種隨著拉力的解除而消失的變形，即為彈性變形。其中保證只出現彈性變形的應力最高限值，稱為彈性極限。在應用上，對比例極限和彈性極限有時不作嚴格區別。但超過彈性極限后，變形將進入彈塑性階段。其中一部分是彈性變形，另一部分是塑性變形，即外力解除后不能消失的那部分變形。

測量單位

在 SI 單位中，位移以米（m）為單位，力以牛頓為單位（N 或千克m/s2）。因此，彈簧常數k和張量κ的每個元素以牛頓每米（N/m）或千克每秒平方（kg/s2）為單位進行測量。

對于連續介質，應力張量σ的每個元素都是一個力除以一個面積;因此，它以壓力為單位進行測量，即布萊士·帕斯卡（Pa，或N/m 2，或kg/（m·s2）。應變張量ε的元素是無量綱的（位移除以距離）。

應用

胡克定律廣泛應用于磅秤制造、應力分析、材料模擬等領域。除此外，胡克定律也是彈簧秤、檢流計等機械的基本原理。彈簧測力計基于胡克定律被發明，并且在物理試驗室中被廣泛使用。

磅秤制造

彈簧秤

彈簧秤的秤重原理是由羅伯特·胡克定律（Hooke's law）而來：彈簧受到外力作用產生變形，在彈簧線性的條件下，變形量將與外力大小成一定的比例關系，而變形所產生的彈力會與外力的大小相等，所施的力越大，變形量就會越大。應用在彈簧秤上時，依照彈簧變形量的大小就可量測出被測物的重量。

應力分析

均勻鋼筋的拉應力公式推導

彈性模量也被稱為楊氏模量，是固體力學中用于表征材料彈性變形的基本量。羅伯特·胡克發現彈簧的彈性性質之后，就將這一性質推廣到了固體材料中，他指出，具有彈性性質的各類構件都滿足的公式。

承受拉伸或壓縮桿件的外力作用線與桿軸線重合，桿件沿桿軸線方向伸長或縮短，這種變形形式稱為軸向拉伸或軸向壓縮。根據圣維南(Saint-Venant)原理，在離桿一定距離之外，橫截面上各點的變形是均勻的，各點的應力也是均勻的，并垂直于橫截面，即為正應力，設桿的橫截面面積為A，則有正應力的符號規則：拉應力為正，壓應力為負。

等直桿受軸向拉力F作用，桿的原長為l，面積為A，則桿的軸向伸長為：，用內力表示為：上式為桿件拉伸（壓縮）時的虎克定律。式中的E稱為材料的拉伸（壓縮）彈性模量，EA稱為抗拉（壓）剛度。

用應力與應變表示的胡克定律為：。

彈簧彈性勢能計算

如果用力抖動一根軟彈簧形成橫波，那么會看到平衡位置處，彈簧形變最明顯，而最低和最高點幾乎還是原樣，如下圖所示。平衡位置的加速度為零，速度必然最大，所以動能就是最大。如此一來，動能和勢能同步達到最大，當然也會同步達到最小。

從根本上說，只有當內部各點的位移不同，導致各點之間發生相對位移，也就是物質產生了形變時，才會形成彈性勢能。對機械波來說，波函數的變量?是描述媒質中點的偏移量的。它是位置和時間的函數，換句話說，同時刻不同點的偏移量不一致，所以自然會導致各點之間發生相對位移，也就是波的媒質發生形變，這就能導致彈性勢能。

媒質中質元的勢能取決于波形曲線上的切線的斜率，斜率絕對值越大，勢能越大，絕對值越小，勢能就越小。質元的動能和勢能隨位置和時間的變化規律一樣，用更物理的語言說，它倆是同幅同相變化的，對確定點，二者的值每時刻都完全一致。

其中，能量與坐標和時間相關的部分具有簡諧波的標準形式。因此，機械波的能量本身也形成一個簡諧波，它的頻率是波的頻率的兩倍。對簡諧波來說，能量的傳播速度就是波本身的速度，簡諧波的質元并不是做簡諧振動，因為相鄰的質元之間有力的作用，所以質元做的是受迫振動而非簡諧振動。

當波前剛抵達某個質元時，它還處于平衡位置，此時質元的能量是最大的。在一個波峰或波谷抵達某質元的過程中，它的能量沿波的傳播方向流出；當波峰或波谷到達質元后，它又重新開始吸收來自波源方向傳入的能量，再次回到平衡位置。如此反復，能量沿著波線方向不斷向前傳播。

材料模擬

應力松弛

這是材料的結構重新調整的一種現象，它和蠕變同為物質內部結構變化的外部顯現。這種現象對應于黏彈性材料本構方程的一種形式。

這種可觀測的物理性質取決于材料分子（或原子）結構的統計特性。應力松弛往往會帶來不利影響，如高壓蒸汽管道中，法蘭緊固螺栓的鎖緊力可能隨時間降低，故每隔一段時間需擰緊一次，以防漏氣。應力松弛和蠕變一樣，來源于材料的黏性。因此，更復雜的黏彈塑性和黏塑性材料也都有應力松弛現象。

其他

諧波振蕩器

諧振子是一種在經典力學和量子力學中都有重要應用的模型。它是彈性、聲學、交流電路、分子和晶體振動、電磁場和物質光學性質等不同現象的數學處理的原型。經典力學中諧振子的簡單實現是一個粒子，該粒子受到與其從平衡位置的位移成比例的恢復力的作用。這種力可能源自遵守胡克定律的彈簧。根據胡克定律，該定律適用于位移足夠小的實際彈簧，恢復力與距平衡位置的位移（拉伸或壓縮）成正比。

參考資料 >

胡克定律.中國大百科全書.2024-01-15

距超新星爆發多遠可以安全地烤熟土豆片？| No.367.微信公眾平臺.2024-01-15

巨人陰影下的巨人——斜杠青年胡克.微信公眾平臺.2024-01-15

光到底是什么?.微信公眾平臺.2024-01-15

胡克定律及其廣義變化和適用范圍.all4engineer.2024-01-22

胡克定律.中國大百科全書.2024-01-15

胡克.中國大百科全書.2024-01-15

新知丨力學引領下改變人類生活的三項發明.微信公眾平臺.2024-01-15

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Strength and Design.Bridges.2024-01-01