在數論中，丟番圖逼近探討以實數逼近有理數的課題，逼近的程度通常以該有理數的分母衡量。
正文
數論的一個分支，以研究數的有理逼近問題為主。這里所謂的數是指實數、復數、代數數或超越數。數的有理逼近問題，可表為求某種不等式的整數解問題。由于在整數范圍求解的方程稱為不定方程或丟番圖方程，因而把求不等式的整數解問題稱之為丟番圖逼近。
1842年，P.G.L.狄利克雷首先證明了實數有理逼近的一個結果：如果α是任意實數,Q是大于1的實數，那么存在整數對p、q，滿足兩個不等式:和。由此可得，如果α是任意無理數，那么存在無窮多對互素的整數對p、q，滿足不等式。當α是有理數時，上式不成立。
1891年，A.阿道夫·胡爾維茨將上式改進為并指出，對于某些無理數，常數是最佳值，不可再減小。但是對于很多無理數，常數 不是最佳值，還可再減小。
1926年，A.Я.亞歷山大·辛欽證明了：在勒貝格測度意義下對幾乎所有的實數α，不等式的整數解p、q有無窮多對還是只有有窮多對，由級數是發散的還是收斂的而定，這里是正的非增函數。此即所謂丟番圖逼近測度定理。例如，對幾乎所有的實數 α和任意的,不等式只有有窮多對整數解，而不等式有無窮多對整數解。
丟番圖逼近與連分數有密切聯系。一個數的連分數展開，往往就是具體構造有理逼近解的過程。例如，對于任意無理數α，有無窮多個漸近分數,滿足不等式
1844年，J.約瑟夫·劉維爾開創了實代數數的有理逼近的研究，他證明了：如果α是次數為d的實代數數，那么存在一個常數，對于每個不等于α的有理數，有。亦即如果，那么不等式只有有窮多個解。根據這一結果，劉維爾構造出了歷史上的第一個超越數。以后一些數學家不斷改進指數μ 的值，直到得出μ 與 d無關的結果。
1909年，A.圖埃得到。
1921年，C.L.西格爾得到。
1947年至1948年間,F.戴森和A.O.蓋爾豐德各自獨立證明了。
1955年,K.F.羅特得到了μ與d無關的一個結論：如果α是實代數數，其次數 ,那么對于任意的，不等式 只有有窮多個解。這一結論又稱為圖埃-西格爾-羅特定理。
對于一組數的有理逼近問題，稱之為聯立丟番圖逼近。狄利克雷關于聯立逼近有如下論斷：如果是n個實數,是整數，那么存在一組整數q,滿足不等式組
進而，如果 中至少有一個無理數，那么存在無窮多組解()，適合不等式組關于實代數數的聯立有理逼近，直到1970年才由W.M.施密特徹底解決。他證明了：如果 是實代數數，并且1, 在有理數域上線性無關，那么對任意的，只有有限多個正整數q使得成立。式中記號‖x‖表示x與最近整數的距離。這一結果的一個等價表達方式：對于上述的實數及任意的，只有有限多組非零整數 適合。
由此可知，聯立不等式
丟番圖逼近
只有有限多組解( )，以及不等式
只有有限多組整數解p, 。
用代數數逼近代數數，也是丟番圖逼近的一類重要內容。W.M.施密特所著《丟番圖逼近》（1980）一書中，有詳細的論述。
自20世紀以來，丟番圖逼近除自身的發展外，在超越數論、丟番圖方程等方面都有重要的應用。
參考書目
J. W. S.Cassels,An Introduction to Diophantine ApproxiMation, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1957.
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