并集，指兩個或多個集合經并運算所得到的集合。給定兩個集合，把他們所有的元素合并在一起組成的集合，叫做集合與集合的并集，記作，讀作并。即是由屬于集合或屬于集合的元素所組成的集合，符號表示為：或。
1851年，波爾查諾（波爾扎諾，B）發表著作《無窮悖論》，肯定了實無窮的存在，建立了集合等價的概念，還注意到了無窮集合的某些真部分有可能等價于整體的情況。1874年，德國數學家格奧爾格·康托爾(G.Cantor，1845-1918)創立的集合論，是現代數學的基礎。集合分為空集、子集、補集、交并集以及冪集等。集合與集合之間有包含和相等關系，集合之間有并、交、補等運算。集合論的思想滲透數學的各個領域，其一方面促進了數學的發展，另一方面也影響了后世數學家對數學基礎性工作的深刻研究。
并集應用于數據分析、計算機科學、計算機輔助設計和軍事等領域，在數據分析中，創建并集有手動和自動兩種方式，創建并集是將一個表中的幾行數據附加到另一個表來合并兩個或者更多表的一種方法。保密計算集合的交集或并集是計算機科學的重要研究之一，廣泛應用于電子選舉、門限簽名、保密拍賣等場景中。同時，集合也應用于計算機輔助設計，可以對三維實體對象進行并集、交集、差集的運算。軍事領域中自動目標識別技術運用了基于“交并集加權”的改進證據組合方法，提高證據組合規則的準確性。
定義
并集也稱和集，是集合論的基本概念之一，指兩個或多個集合經并運算所得到的集合。對于任意兩個集合，由集合和集合中所有元素組成的集合，稱為集合與集合的并集，記作，讀作A并B。即是由屬于集合或屬于集合的元素所組成的集合，符號表示為：或
。
舉例
集合的并運算：設集合，集合，為集合的并集，求。
解：
可得
簡史
19世紀初期，數學界對數學分析基礎的批判運動促進了集合論的誕生。1851年，波爾查諾發表著作《無窮悖論》，肯定了實無窮的存在，建立了集合等價的概念，還注意到了無窮集合的某些真部分有可能等價于整體的情況。1874年，德國數學家格奧爾格·康托爾創立的集合論，是現代數學的基礎。集合是指具有某種特定性質的具體的或抽象的對象匯總而成的集體，其中構成集合的這些對象則稱為該集合的元素。
集合分為空集、子集、補集、交并集以及冪集等。集合與集合之間有包含和相等關系，集合之間有并、交、補等運算。集合論的思想滲透數學的各個領域，其一方面促進了數學的發展，另一方面也影響了后世數學家對數學基礎性工作的深刻研究。由于集合論對數學的基礎作用和重要性，它已經成為理解和掌握現代數學所必不可少的基礎知識。而集合思想則是把在某些方面有類似性質的對象（或滿足某一條件的對象）放在一起視為一個集合，然后利用集合有關的概念或通過集合的運算來解決問題。其在解題中有著重要作用。
性質
性質一：任何兩個集合都是他們并集的子集，即，也可說并集相對于和來說是全集。
性質二：任何集合與空集，或集合與自己的并集都等于它自己，即。
性質三：任何集合與全集的并集等于全集,即。
相關定理
有限集合的記數問題可用容斥定理解決，容斥定理定義為：設是具有N個元素的集合，是A的子集，則有
。
證明：由Sylvester定理可知，當時恰好是沒有任何性質的元素個數，數目為
證畢。
相關運算
推廣
推廣一：設為全集的一個子集類，由中所有子集的元素合并組成的新集合，稱為子集類的并集，記作。
則并集為。
推廣二：從兩個集合的并運算可推廣到任何有限個或任意無限個集合的并運算。設為一集合族，把集合稱為所含的元素集合的并集，記為。
用記號表示一集合族，則集合族的并運算表示為：。
相關概念
交集
設是兩個集合，由集合和集合中的公共元素組成的集合，稱為集合與集合的交集，記作，讀作交，即是由既屬于又屬于的元素組成的集合，用符號表示為：。
差集
設是兩個集合，由所有只屬于集合而不屬于集合的元素所組成的集合，稱為集合與集合的差集。差集記作，符號表示為：。
補集
設為全集，集合的補集用表示，定義為， 符號表示為：。
空集
空集是集合論的一個重要概念，沒有任何元素的集合稱為空集，用符合表示，其表達式用符號可以表述為或者。對于任何集合，都有，即空集是任意集合的子集。空集有一個性質是：對于任何集合有。
集合
集合是數學中的一個基本概念，是由一個或多個確定的元素所構成的整體，現在幾乎滲透到了數學的各個領域。集合的元素具有確定性、互異性、無序性的特點，元素互異性是集合最重要的特征之一。給定任意集合和，可以通過集合的交、并、差、補、對稱差等運算產生新集合。
子集
設是兩個集合，若對任意，即集合的任何一個元素都是集合的元素，那么集合就叫做集合的子集，記作，讀作“A包含于B"或“B包含A”。
對稱差
設是兩個集合，集合的對稱差（或布爾和）定義為：，即集合的所有非公共元素所組成的集合。
文氏圖
文氏圖也叫維恩圖（Venn圖）、邏輯圖，是用圖解表示集合運算和集合關系的示意圖，常用來幫助理解問題和邏輯推導。在文氏圖中，全集用一長方形區域表示，長方形中的點表示全集中的元素，閉合曲線形成的圓形區域表示集合的子集，圓形區域的位置關系表示了不同集合之間的關系。
集族
設是一個非空集合，記是的冪集，即以的所有子集（包含空集和本身）為元素的集合。把的子集
（即以的一部分子集為元素的集合 ）稱為的集族。
應用
計算機輔助設計
布爾運算得名于19世紀數學家喬治·布爾，布爾發明了處理二值之間關系的邏輯數學計算法，包括與、或、非、異或。布爾運算在數學的集合運算中得到廣泛應用，AutoCAD（計算機輔助設計）也將該運算應用于實體的創建過程中。實體建模是AutoCAD三維建模中比較重要的一部分，實體模型能夠完整描述對象的3D模型，比三維線框、三維曲面更能表達實物。利用三維實體，可以分析實體的質量特性，如體積、慣量、重心等。用戶可以對三維實體對象進行下列布爾運算并集、交集、差集，交運算是指取兩個形體中公共的部分，將非公共部分刪除掉的操作；并運算是指將兩個形體合并形成一個新形體的操作；差運算是指從第一個形體中刪除第二形體的部分，剩下的形體組成一個新形體的操作。
數據分析
在tableau數據分析中新建并集的方式有兩種：手動合并表（手動）和通配符（自動）。手動合并的方法是將需要合并的表拖向“新建并集”頁面，單擊“確定”按鈕即可；適用于需要合并工作表較少的情況。自動合并是通過通配符匹配，將所查詢到的文件自動新建為一個并集，適用于合并的工作表較多的情況。并集是通過將一個表中的幾行數據附加到另一個表來合并兩個或者更多表的一種方法。理想情況下，合并的表必須具有相同的字段數，并且這些字段必須具有匹配的名稱和數據類型。
計算機科學
集合的安全多方計算問題是保密科學計算研究的重要問題之一，安全多方計算是指多個參與者將保密數據作為計算輸入，參與者協同進行保密計算，且無法獲得計算結果外的其它額外信息。安全多方計算在自然科學、工程技術、社會科學等領域有著重要的現實意義和應用價值，經常應用于電子選舉、門限簽名、保密拍賣等場景中。近年來，研究學者對保密判斷元素與集合的關系、保密計算集合的交集或并集以及保密判斷集合包含關系等問題進行了大量研究。研究學者針對不同的集合運算提出對應的轉化方式將集合轉化為向量，然后基于哥德爾編碼提出了新的編碼方式，再結合ElGamal門限加密算法設計了半誠實模型下可輸出多個集合交集.
或并集，以及同時輸出交集與并集的保密計算協議。最后應用模擬范例證明了協議的安全性，協議可以抵抗任意的合謀攻擊。
軍事領域
自動目標識別技術是軍用指揮自動化系統的關鍵技術之一，以多傳感器數據融合技術為核心的多模探測技術迅速發展，但是由于各種干擾的影響以及傳感器本身存在誤差，各傳感器提供的信息都具有一定程度的不確定性，信息融合過程實質上是一個不確定的推理與決策過程。D-S 證據理論作為一種不確定推理方法，在信息融合中獲得廣泛的應用，在 D-S 證據理論中，傳感器的輸出信息被表示為定義在辨識框架冪集下的基本概率指派函數( mass 函數) ，利用 D-S 證據組合規則實現多個 mass函數的組合。然而在證據高度沖突情況下，證據理論會產生錯誤結論，針對 D-S 證據組合規則在證據高度沖突時會導致錯誤結論這一問題，結合自動目標識別系統的實際需求，提出了一種基于“交并集加權”的改進證據組合方法。該方法首先將交集組合規則和并集組合規則進行適當加權，然后根據組合后的證據中各單元素命題的相對可信任度，將多元素命題的基本概率指派函數( mass 函數) 按比例分配給它的單元素子集，從而確保目標識別系統能夠在單元素命題間進行決策。
參考資料 >