隨機(jī)微分方程（英語：SDE, stochastic differential 方程）是常微分方程的擴(kuò)展，其項(xiàng)是隨機(jī)過程，解也是隨機(jī)過程。它描述了一個隨機(jī)變數(shù)的變動過程，即常微分方程加上一個白噪音項(xiàng)。由于隨機(jī)過程函數(shù)本身的導(dǎo)數(shù)不可定義，傳統(tǒng)解微分方程的概念不適用于隨機(jī)微分方程。SDE在純粹數(shù)學(xué)中有廣泛應(yīng)用，如模擬股價、隨機(jī)增長模型或受熱漲落影響的物理系統(tǒng)等隨機(jī)模型的行為。隨機(jī)微分方程的概念最早由阿爾伯特·愛因斯坦在論文中提出，并由保羅·朗之萬繼續(xù)研究。伊藤清和魯斯蘭斯特拉托諾維奇等人后來完善了隨機(jī)微分方程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。隨機(jī)微分方程的解是一隨機(jī)過程函數(shù)，但解方程需要先定義隨機(jī)過程函數(shù)的微分。最常見的定義為伊藤積分，它是在金融數(shù)學(xué)中常用的隨機(jī)微分方程形式。
背景
隨機(jī)微分方程源于愛因斯坦和Marian Smoluchowski提出的布朗運(yùn)動理論，而Louis Bachelier是第一個建立布朗運(yùn)動模型的人，給出了一個非常早期的SDE實(shí)例，即現(xiàn)在所謂Bachelier模型。早期的SDE例子是線性的，也稱為保羅·朗之萬方程，描述了諧振子在隨機(jī)力作用下的運(yùn)動。伊藤清在1940年代發(fā)展了SDE的數(shù)學(xué)理論，提出了隨機(jī)分析的概念，并開啟了非線性隨機(jī)微分方程的研究。后來，Ruslan Stratonovich提出了另一種方法，產(chǎn)生了類似于普通微積分的隨機(jī)積分。
術(shù)語
在文獻(xiàn)中，SDE最常見的形式是常微分方程，右式由一個取決于白噪音變量的擾動項(xiàng)。大多數(shù)時候SDE被理解為相應(yīng)隨機(jī)差分方程的連續(xù)時間極限，這種理解是模糊的，必須輔以相應(yīng)積分的適當(dāng)數(shù)學(xué)定義。這種數(shù)學(xué)定義由伊藤清提出，產(chǎn)生了伊藤積分。后來，Ruslan Stratonovich提出了另一種構(gòu)造，即所謂隨機(jī)積分，與伊藤積分是相關(guān)但不同的對象，選擇取決于具體應(yīng)用。伊藤積分以非預(yù)期性或因果性概念為基礎(chǔ)，這在以時間為變量的應(yīng)用中很自然。而隨機(jī)積分的規(guī)則則與普通微積分相似，且具有內(nèi)在的幾何特性，使它在處理流形上的隨機(jī)運(yùn)動等問題時更自然。盡管通過伊藤SDE來模擬流形上的隨機(jī)運(yùn)動也是可能的，且有時更可取，例如在試圖優(yōu)化逼近子流形上的SDE時。
隨機(jī)分析
布朗運(yùn)動或維納過程在數(shù)學(xué)上異常復(fù)雜：維納過程幾乎肯定不可微，因此要有自己的分析規(guī)則。隨機(jī)分析有伊藤積分和隨機(jī)積分兩個版本，各有利弊，初學(xué)者往往搞不清楚特定問題用哪個更合適。有些指南(e.g. ?ksendal, 2003)，人們可以很方便地將伊藤SDE變換為等價的隨機(jī)SDE，反之亦然。不過，最初寫下SDE時還是要決定使用哪種積分。
數(shù)值求解
解SDE的數(shù)值方法有歐拉-丸山法、米爾斯坦法和Runge–Kutta法等。這些方法允許我們在計算機(jī)上模擬SDE的行為，從而在物理學(xué)、金融數(shù)學(xué)等領(lǐng)域中進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用。
物理學(xué)中的應(yīng)用
物理學(xué)中，SDE具有廣泛的適用性，從分子動力學(xué)到神經(jīng)動力學(xué)，再到天體動力學(xué)，不一而足。SDE描述了所有動力系統(tǒng)，其中量子效應(yīng)要么不重要，要么可以作為擾動加以考慮。SDE可被視為動力系統(tǒng)理論對有噪模型的一種概括，這很重要，因?yàn)閷?shí)際系統(tǒng)不可能與其環(huán)境完全隔離，總會受外部隨機(jī)影響。
在概率論和金融數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
概率論及其在金融數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，使用的符號略有不同。在這些領(lǐng)域中，SDE用于模擬如股價這樣的隨機(jī)過程。例如，幾何布朗運(yùn)動方程是金融數(shù)學(xué)中布萊克-舒爾斯模型中的股價動態(tài)方程。此外，SDE還可以處理金融數(shù)學(xué)中所謂波動性微小的模型。
SDE與超對稱
在SDE的超對稱理論中，隨機(jī)動力是通過作用于模型相空間微分形式的隨機(jī)演化映射定義的。所有SDE都具有拓?fù)涑瑢ΨQ性，即通過連續(xù)的時間流保持相空間連續(xù)性。這種超對稱的自發(fā)破缺是混沌、湍流、自組織臨界性等諸多動力現(xiàn)象的數(shù)學(xué)本質(zhì)。
相關(guān)文獻(xiàn)
- Adomian, George. Stochastic systems. 數(shù)學(xué) in Science and Engineering (169). Orlando, FL: Academic Press Inc. 1983.
- Adomian, George. Nonlinear stochastic 經(jīng)營者 equations. Orlando, FL: Academic Press Inc. 1986.
- Adomian, George. Nonlinear stochastic systems theory and applications to 物理學(xué) 數(shù)學(xué) and its Applications (46). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers 基團(tuán) 1989.
- Calin, Ovidiu. An Informal Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Singapore: World Scientific Publishing. 2015: 315. ISBN 978-981-4678-93-3.
- Teugels, J. and Sund B. (eds.). Encyclopedia of Actuarial Science. Chichester: Wiley. 2004: 523–527.
- C. W. Gardiner. Handbook of Stochastic Methods: for 物理學(xué), 化學(xué) and the Natural Sciences. Springer. 2004: 415.
- Thomas Mikosch. Elementary Stochastic Calculus: with 金融 in View. Singapore: World Scientific Publishing. 1998: 212. ISBN 981-02-3543-7.
- Seifedine Kadry. A Solution of Linear Stochastic Differential 方程 Wseas Transactions on 數(shù)學(xué) (USA: WSEAS TRANSACTIONS on MATHEMATICS, April 2007.). 2007: 618. ISSN 1109-2769.
- Higham., Desmond J. An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations. SIAM Review. January 2001, 43 (3): 525–546. Bibcode:2001SIA智能障礙43..525H. CiteSeerX 10.1.1.137.6375?. doi:10.1137/S0036144500378302.
- Desmond Higham and Peter Kloeden: "An Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations", SIAM, ISBN 978-1-611976-42-7 (2021).
參考資料 >