幾何布朗運(yùn)動(dòng)（GBM）（也叫做指數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)）是連續(xù)時(shí)間情況下的隨機(jī)過(guò)程，其中隨機(jī)變量的對(duì)數(shù)遵循布朗運(yùn)動(dòng)。幾何布朗運(yùn)動(dòng)在金融數(shù)學(xué)中有所應(yīng)用，用來(lái)在布萊克-舒爾斯定價(jià)模型中模仿股票價(jià)格。
專業(yè)定義
隨機(jī)過(guò)程St在滿足以下隨機(jī)微分方程（SDE）的情況下被認(rèn)為遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)：
dSt=μStdt+σStdWt
這里Wt是一個(gè)維納過(guò)程，或者說(shuō)是布朗運(yùn)動(dòng)，而μ（'漂移百分比'）和σ（'波動(dòng)百分比'）則是常量。
運(yùn)動(dòng)特性
給定初始值S，根據(jù)伊藤積分，上面的SDE（【數(shù)】隨機(jī)導(dǎo)數(shù)方程式）
有如下解：
St=S0exp（（μ?σ2/2）t+σWt），
對(duì)于任意值t，這是一個(gè)對(duì)數(shù)正態(tài)分布隨機(jī)變量，其期望值和方差分別是
E（St）=S0eμt，
Var（St）=S20e2μt（eσ2t?1），
也就是說(shuō)S的概率密度函數(shù)是：
fSt（s;μ，σ，t）=12π??√1sσt√exp?????（lns?lnS0?（μ?12σ2）t）22σ2t????。
根據(jù)伊藤引理，這個(gè)解是正確的。
比如，考慮隨機(jī)過(guò)程log（S）。這是一個(gè)有趣的過(guò)程，因?yàn)樵诓既R克-舒爾斯模型中這和股票價(jià)格的對(duì)數(shù)回報(bào)率相關(guān)。對(duì)f（S）=log（S）應(yīng)用伊藤引理，得到
dlog（S）=f′（S）dS+12f′′（S）S2σ2dt=1S（σSdWt+μSdt）?12σ2dt=σdWt+（μ?σ2/2）dt。
于是Elog（St）=log（S0）+（μ?σ2/2）t。
這個(gè)結(jié)果還有另一種方法獲得：applyingthelogarithmtotheexplicitsolutionofGBM：
log（St）=log（S0exp（（μ?σ22）t+σWt））=log（S0）+（μ?σ22）t+σWt。
取期望值，獲得和上面同樣的結(jié)果：Elog（St）=log（S0）+（μ?σ2/2）t。
運(yùn)動(dòng)應(yīng)用
在金融中
主條目：布萊克-舒爾斯模型
幾何布朗運(yùn)動(dòng)在布萊克-舒爾斯定價(jià)模型被用來(lái)定性股票價(jià)格，因而也是最常用的描述股票價(jià)格的模型。
使用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股票價(jià)格的理由：
??幾何布朗運(yùn)動(dòng)的期望與隨機(jī)過(guò)程的價(jià)格（股票價(jià)格）是獨(dú)立的，這與對(duì)現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)的期望是相符的。
??幾何布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程只考慮為正值的價(jià)格，就像真實(shí)的股票價(jià)格。
??幾何布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程與在股票市場(chǎng)觀察到的價(jià)格軌跡呈現(xiàn)了同樣的“roughness”。
??幾何布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單。
然而，幾何布朗運(yùn)動(dòng)并不完全現(xiàn)實(shí)，尤其存在一下缺陷：
??在真實(shí)股票價(jià)格中波動(dòng)隨時(shí)間變化（possiblystochastically），但是在幾何布朗運(yùn)動(dòng)中，波動(dòng)是不隨時(shí)間變化的。
??在真實(shí)股票價(jià)格中，收益通常不服從正態(tài)分布（真實(shí)股票收益具有更高的峰度和厚尾（'fattertails'），代表了有可能形成更大的價(jià)格波動(dòng)）。
參考資料 >