隨機(jī)積分，是對(duì)某些隨機(jī)過(guò)程類(lèi)適當(dāng)定義的各種積分的總稱(chēng)。
簡(jiǎn)介
對(duì)某些隨機(jī)過(guò)程類(lèi)適當(dāng)定義的各種積分的總稱(chēng)。它們?cè)陔S機(jī)過(guò)程與隨機(jī)微分方程的研究和應(yīng)用中各有其重要的作用。
伊藤積分? 這是對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)定義的一種隨機(jī)積分。布朗運(yùn)動(dòng)的樣本函數(shù)雖然連續(xù)，但幾乎所有的樣本函數(shù)非有界變差，甚至處處不可微，因而無(wú)法按樣本函數(shù)來(lái)定義通常的黎曼－斯蒂爾杰斯積分（簡(jiǎn)稱(chēng)RS積分）或亨利·勒貝格斯蒂爾杰斯積分（簡(jiǎn)稱(chēng)LS積分）。一般來(lái)說(shuō),RS積分定義中的達(dá)布和不會(huì)以概率1收斂到一定的極限，但在適當(dāng)?shù)臈l件下，達(dá)布和的均方極限存在。伊藤清正是利用這一性質(zhì)定義了對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分。設(shè)是一族上升的子σ域，布朗運(yùn)動(dòng)是鞅。如果樣本連續(xù)的有界隨機(jī)過(guò)程是適應(yīng)的，那么當(dāng)有限區(qū)間R+的分割PI噬菌體共轉(zhuǎn)導(dǎo)頻率 的直徑趨于零時(shí)，達(dá)布和 的均方極限存在，記作,它稱(chēng)為φ在區(qū)間上對(duì)W 的伊藤積分。值得注意的是，在達(dá)布和的構(gòu)造中，被積過(guò)程在上的取值點(diǎn)不是隨意一點(diǎn)，而只能是它的左端點(diǎn)。這是一個(gè)嚴(yán)格的限制。完全不加限制時(shí)其極限不存在，如作其他的限制，則可能得到另外的極限，從而定義出另外的積分，但最有用的是這種限制。伊藤積分最重要的性質(zhì)是著名的伊藤公式：設(shè)F是二次連續(xù)可微的實(shí)函數(shù)，則這一公式及其各種推廣在理論上和應(yīng)用上都有重要的作用。例如，
可以用來(lái)證明關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)的鞅刻畫(huà)的萊維定理：一個(gè)從零出發(fā)的樣本連續(xù)過(guò)程為布朗運(yùn)動(dòng)的充要條件，是W 和都為鞅。
對(duì)平方可積鞅的隨機(jī)積分? 使的鞅稱(chēng)為平方可積鞅，其中x(∞)是當(dāng)時(shí)，x(t)以概率1 收斂的極限。對(duì)一個(gè)平方可積鞅x, -x2是類(lèi)(D)上鞅，因此根據(jù)上鞅分解定理,x 2可惟一地表成一致可積鞅M和可料增過(guò)程A 之和, 。由此，對(duì)任何樣本連續(xù)的有界適應(yīng)過(guò)程 φ，當(dāng)［α，b)］的分割的直徑δ()趨于零時(shí)，達(dá)布和的均方極限存在，這個(gè)極限就稱(chēng)為φ 在【α,b)】上對(duì)x的隨機(jī)積分。這種積分也有相應(yīng)的伊藤公式：對(duì)二次連續(xù)可微的函數(shù)F，
右邊最后一項(xiàng)是按軌道的LS積分，可料增過(guò)程A的軌道是右連續(xù)增函數(shù)。這種隨機(jī)積分還可以進(jìn)一步推廣到對(duì)局部鞅以至半鞅的積分。
斯特拉托諾維奇積分? 在伊藤積分定義的達(dá)布和中，如果用在小區(qū)間中點(diǎn)的被積過(guò)程值φ(或者等價(jià)地，用在兩個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的過(guò)程值的算術(shù)平均代替左端點(diǎn)的過(guò)程值，則均方極限也存在，但此極限與伊藤積分不相同，它定義了用斯特拉托諾維奇命名的另一種積分，記作這種積分的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，對(duì)一個(gè)三次連續(xù)可微的函數(shù)F，,它保持了普通微積分中牛頓-萊布尼茨公式的形式。
其他類(lèi)型的隨機(jī)積分? 常見(jiàn)的還有均方隨機(jī)積分和對(duì)正交增量過(guò)程的積分。對(duì)一個(gè)均方連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程x，即對(duì)一切滿足的x，達(dá)布和的均方極限存在，它定義了x在區(qū)間【α,b)】上的均方隨機(jī)積分，記作其中是【α,b】的分割，sk可在上任取，均方極限是在δ(墹)趨于零的條件下取的。設(shè)Z 是一個(gè)正交增量過(guò)程，即對(duì)一切 那么對(duì)任一［α，b］上的連續(xù)函數(shù)?，達(dá)布和的均方極限定義了?在［α,b］上對(duì)Z的積分，記作。這種對(duì)正交增量過(guò)程積分的最重要的應(yīng)用是寬平穩(wěn)過(guò)程的譜表示（見(jiàn)平穩(wěn)過(guò)程）。
隨機(jī)微分方程? 形如 的方程稱(chēng)為伊藤方程，其中是一次連續(xù)可微的二元函數(shù),W是布朗運(yùn)動(dòng),X是待求的半鞅。由于形式上還可以將方程改寫(xiě)為 這種微分表示，習(xí)慣上常稱(chēng)為(伊藤)隨機(jī)微分方程。理論上對(duì)它已有很多研究，解的存在惟一性問(wèn)題已經(jīng)解決，并且有各種形式的推廣，如用半鞅代替布朗運(yùn)動(dòng)等。但能把解明確表達(dá)出來(lái)的還只有少數(shù)簡(jiǎn)單的特例，如對(duì),，,方程有惟一解它是一個(gè)樣本連續(xù)鞅。
此外，對(duì)于均值函數(shù)為零的實(shí)二階過(guò)程x(見(jiàn)隨機(jī)過(guò)程),可定義其各階均方導(dǎo)數(shù)。若x的協(xié)方差函數(shù) 二次連續(xù)可微，則差商當(dāng) 時(shí)的均方極限總存在，它定義了x的一階均方導(dǎo)數(shù)。一般地，若 Г(s,t)2n次連續(xù)可微，則x的n階均方導(dǎo)數(shù)存在。聯(lián)系著一個(gè)二階過(guò)程x及其各階均方導(dǎo)數(shù)之間的方程，如等，稱(chēng)為均方隨機(jī)微分方程。求解它，就是要找出滿足該關(guān)系式的二階過(guò)程x。例如在初值下的惟一解是其中α是實(shí)常數(shù)，ξ為已知的隨機(jī)變量，Y為已知的均方連續(xù)隨機(jī)過(guò)程，而積分是均方隨機(jī)積分。
參考書(shū)目
J.L.Doob,Stochastic Processes,John Wiley & Sons.New York, 1953.
嚴(yán)加安編著：《鞅與隨機(jī)積分引論》，上海科學(xué)技術(shù)出版社，上海，1981。
參考資料 >