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幾何化猜想是關于三維流形的一個重要猜想，由威廉·瑟斯頓提出。它指出任取一個緊致（可能帶邊）的三維流形，可以通過一系列操作將其分割成若干具有八種標準幾何結構之一的子流形。這些幾何結構都是完備的度量張量，具有良好的性質，如體積有限和“直線”可無限延伸。猜想的證明是對二維曲面單值化定理在三維流形上的推廣。
內容介紹
威廉·瑟斯頓的幾何化猜想指的是，任取一個緊致(可能帶邊)的三維流形盡量作連通和以使其成為盡可能簡單的三維流形的連通和，對于帶邊流形可能還需要沿著一些圓盤繼續切割，有唯一的方法沿著一些環面(如果是帶邊流形還要加上平環)割開得到盡可能簡單的若干小塊，這些小塊均為八種標準幾何結構之一。這些幾何結構均為完備的度量張量，這些幾何結構在某種意義上是比較“好”的，例如體積有限、“直線”都可無限延伸等等。這八種標準幾何結構包括：
1. 標準球面\(S^3\)，具有常曲率+1
2. 歐氏空間\(R^3\)，具有常曲率0
3. 雙曲空間\(H^3\)，具有常曲率-1
4. \(S^2 \times R\)，即二維球面與實數直線的乘積
5. \(H^2 \times R\)，即二維雙曲空間與實數直線的乘積
6. 特殊線性群\(SL(2, R)\)上左不變度量張量
7. 冪零幾何
8. 可解幾何
二十世紀八十年代，威廉·瑟斯頓證明了這個猜想對于Haken三維流形是成立的。2003年左右，格里戈里·佩雷爾曼通過引入Ricci流與外圍手術的方法，完全證明了幾何化猜想。佩雷爾曼的工作不僅解決了幾何化猜想，也為解決著名的龐加萊猜想提供了關鍵性的進展。
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