描述集合論（Descriptive set theory）是數(shù)學(xué)中數(shù)理邏輯、集合論的一個分支，專注于波蘭空間中的子集合。這一領(lǐng)域?qū)⒆蛹弦罁?jù)其在拓撲上定義的復(fù)雜程度分為博雷爾集（Borel 集）、解析集、投射集等不同類別，并研究它們的結(jié)構(gòu)及性質(zhì)。
介紹
描述集合論(descriptive set theory)是集合論的一個分支，是研究可以用簡單的方式予以描述的實數(shù)集合或其他具有類似結(jié)構(gòu)的集合的數(shù)學(xué)分支。
有不少數(shù)學(xué)問題，看來對于任意實數(shù)集合是不可回答的，如已經(jīng)證明，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)在ZFC系統(tǒng)中是不可確定的。還有些數(shù)學(xué)問題，對任意實數(shù)集合而言，其答案令人感到不很協(xié)調(diào)，例如在選擇公理之下，存在實數(shù)的亨利·勒貝格不可測集。當人們轉(zhuǎn)而討論一類特殊的實數(shù)集合——有簡單拓撲結(jié)構(gòu)的集合，或以某些簡單方式逐層定義的集合，這些問題就有了明確的、令人感覺協(xié)調(diào)的答案了。19世紀末和20世紀初，波萊爾((F.-é.-J.-)é.Borel)、法國數(shù)學(xué)家貝爾(R.L.Baire)和法國數(shù)學(xué)家勒貝格(H.L.Lebesgue)等人創(chuàng)建了描述集合論這一分支，他們以及后來的俄國數(shù)學(xué)家盧津(Луэин，Н.Н.)、波蘭數(shù)學(xué)家謝爾品斯基(W.Sierpinski)、俄國數(shù)學(xué)家蘇斯林(М.Я.Сус黎族н)等人的工作主要是詳細研究波萊爾集合的構(gòu)造及性質(zhì)，以及不借助于諸如選擇公理這種非能行的方法而構(gòu)造更多類的實數(shù)集合，并研究它們的性質(zhì)，主要研究的是解析集和射影集，它們都有很好的性質(zhì)，這些研究屬于經(jīng)典描述集合論。另一方面，借助于遞歸函數(shù)論，美國邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家克林(S.C.Kleene)和其他邏輯學(xué)家從20世紀30年代至20世紀50年代，建立了一套完美的ω子集的可定義性理論。到了1959年，約瑟夫·艾迪生(J.W.Addison)證實了克林的可定義性理論和經(jīng)典的描述集合論實際上討論的是同一對象。今天所討論的描述集合論是結(jié)合了這兩種理論的一般理論，即能行描述集合論。現(xiàn)代描述集合論已成為集合論和遞歸論之間的交叉學(xué)科，近年來的發(fā)展尤為迅猛。
描述集合論又稱譜系理論，是數(shù)學(xué)的一個分支。波萊爾集(或貝爾函數(shù))的理論和射影集的理論可以認為是譜系理論的一個例子。特別是，我們有這種集合，(或函數(shù))的“級”的概念，并且當級”變得更高時，給出或描述所屬的集合在本質(zhì)上將變得更加復(fù)雜。描述集合論是從所謂法國經(jīng)驗主義的觀點來研究的一個數(shù)學(xué)分支。利用遞歸函數(shù)的理論，S·C·克林成功地建立了譜系理論，它本質(zhì)上包含古典描述集合論作為其極端情況。雖然M·截維斯、A·莫斯托夫斯基和其他人基于遞歸函數(shù)的理論而研究謂詞的譜系，但是，使該理論成功地發(fā)展成幾乎完全的形式的是克林。
參考資料 >