在數(shù)學中，一個博雷爾集是指在一個指定的拓撲空間中，可由其開集（或者等價地，可由其閉集）的可數(shù)次并運算、交運算和（或）差運算得到的一個集合。博雷爾集是由埃米爾·博雷爾的名字命名的。對于一個拓撲空間X，其所有博雷爾集的全體構成一個σ-代數(shù)，稱為博雷爾代數(shù)或者博雷爾σ-代數(shù)。拓撲空間X上的博雷爾代數(shù)是X上包含其所有開集（或者等價地，所有閉集）的最小的σ-代數(shù)。博雷爾集在測度論中有著重要的意義，因為任何空間上的開集（或者閉集）上定義的測度，必然可以將定義延拓到空間所有的博雷爾集上。定義在博雷爾集上的測度被稱為博雷爾測度。博雷爾集和相關的博雷爾分層在描述集合論中也起著基礎性的作用。在某些語境下，博雷爾集被定義為是由拓撲空間中的緊集而不是開集生成的。兩個定義在很多良態(tài)的空間中是等價的，包括所有σ-緊的豪斯多夫空間，但是在具有病態(tài)性質的空間中兩者可能不同。
博雷爾代數(shù)
當X是一個度量空間時，博雷爾代數(shù)可以用如下生成的方法描述。
?為T中元素的可數(shù)并的全體
??為T中元素的可數(shù)交的全體
??
現(xiàn)在利用超限歸納法定義如下的序列G，其中m是一個序數(shù)：
??對于初始的情況，定義
??的所有開子集全體。
??如果i不是極限序數(shù)，那么i是的后繼序數(shù)。令
?
??如果i是極限序數(shù)，令
我們現(xiàn)在可以說博雷爾代數(shù)是G，其中是第一不可數(shù)序數(shù)，即勢為的序數(shù)集。這意味著博雷爾代數(shù)可以通過開集全體的迭代運算
至第一不可數(shù)序而生成。
為了證明這一點，首先注意到度量空間中的任何開集都是一列遞增緊集的并。特別地，易知對于任何極限序數(shù)m，集合的差運算將G映射到自身；而且，當m是不可數(shù)的極限序數(shù)時，G在可數(shù)并運算下是封閉的。
注意到對于每一個博雷爾集B，存在一個可數(shù)序數(shù)使得B可以通過多次迭代后得到。但是隨著B取遍所有博雷爾集，也會相應地取遍所有可數(shù)序數(shù)，故而要得到所有博雷爾集所需的最靠前的序數(shù)是，即第一不可數(shù)序數(shù)。
例子
一個重要的例子，尤其是對于概率論而言，是實數(shù)集上的埃米爾·博雷爾代數(shù)。它是用來定義博雷爾測度的代數(shù)。對于概率空間上一個給定的實隨機變量，其概率分布按照定義，也是一個博雷爾代數(shù)上的測度。
實直線R上的博雷爾代數(shù)是包含所有區(qū)間的最小代數(shù)。
在利用超限歸納法構造時，可以證明在每一步中，集合的數(shù)量至多是連續(xù)統(tǒng)的冪。所有博雷爾集的總數(shù)不會多于。
非博雷爾集
下面描述了盧津給出的一個實數(shù)集上的子集不是博雷爾集的例子。與之形成對比的是，不可測集的例子是無法給出的，不過其存在性是可以證明的。
每一個無理數(shù)都有一個唯一的連分數(shù)表示
其中是一個整數(shù)，其余的都是正整數(shù)。令A為對應序列的無理數(shù)組成的集合，而且其中的元素滿足下列性質：存在一個無限子序列使得序列中每一個元素都是下一個元素的因子。這個集合A不是博雷爾集。事實上，這個集合是一個解析集，進一步地，在解析集全體構成的類中是完備的。
參考資料 >