垂徑定理是幾何學(xué)中關(guān)于圓的重要性質(zhì)之一，內(nèi)容是：在圓中垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。垂徑定理具有許多逆命題和推論，還可以推廣到圓錐曲線中。
公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的著作《幾何原本》第三卷中第12個(gè)命題就是垂徑定理，這是最早的有關(guān)垂徑定理的記載。中國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》勾股章所載的“圓材埋壁”問題涉及垂徑定理的相關(guān)知識(shí)。在巴比倫和古印度都有垂徑定理的內(nèi)容和應(yīng)用記載。
1794年，法國(guó)數(shù)學(xué)家阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德在《幾何基礎(chǔ)》一書中給出并證明了垂徑定理。與歐幾里得不同的是，勒讓德在命題中增加了“半徑平分弦所對(duì)的兩條弧”的結(jié)論，首次使垂徑定理具有現(xiàn)代教材中所看到的完整形式。
垂徑定理可以用來證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系，同時(shí)也為進(jìn)行圓的計(jì)算、作圖提供了方法和依據(jù)。利用垂徑定理及其推論，結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)，可以解決現(xiàn)實(shí)生活中的很多問題。
定理簡(jiǎn)史
公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》第三卷中第12個(gè)命題就是垂徑定理。這可能是最早的有關(guān)垂徑定理的記載。
根據(jù)大英博物館所藏?cái)?shù)學(xué)泥板BM85194和巴比倫時(shí)期數(shù)學(xué)泥板TMS1所記載的內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)在古巴比倫時(shí)期（前1800—前1600）垂徑定理的相關(guān)應(yīng)用。
中國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》勾股章所載的“圓材埋壁”問題涉及垂徑定理的相關(guān)知識(shí)。
三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在給《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”作的注中，提出以“割圓術(shù)”作為計(jì)算圓周長(zhǎng)、面積、圓周率的基礎(chǔ)。割圓術(shù)的要旨是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，而在“割圓”的過程中隱含著垂徑定理的內(nèi)容。
公元6世紀(jì)，古印度數(shù)學(xué)家阿耶波多在其著作《阿耶波多歷算書》中給出了圓的弦、矢與直徑三個(gè)量之間的關(guān)系。12世紀(jì)，婆什迦羅在其著作《莉拉沃蒂》中在阿耶波多的基礎(chǔ)上進(jìn)一步給出了“矢弦法則”，是為垂徑定理與勾股定理的推論。
17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家巴蒂在其著作《幾何基礎(chǔ)）中將垂徑定理表述成“弦被經(jīng)過圓心的垂線所平分”。在證明定理之后，巴蒂補(bǔ)充了結(jié)論“弧也被平分”。巴蒂的《幾何基礎(chǔ)》由法國(guó)來華天主教傳教士譯成滿文和文言文，漢文后被收入康熙帝主編的《數(shù)理精蘊(yùn)》中。因此作為一個(gè)幾何定理，垂徑定理在清代傳入中國(guó)。
1741年，法國(guó)數(shù)學(xué)家克萊羅在《幾何基礎(chǔ)》第三卷命題24中給出垂徑定理：如果兩條線段彼此垂直，并且其中一條線段是圓的直徑，那么另一條線段將被平分。克萊羅僅僅敘述了定理內(nèi)容，沒有給出具體的證明，不涉及定理應(yīng)用。1794年，法國(guó)數(shù)學(xué)家阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德的《幾何基礎(chǔ)》出版。書中給出并證明了垂徑定理。與歐幾里得和克萊羅不同的是，勒讓德在命題中增加了“半徑平分弦所對(duì)的兩條弧”的結(jié)論，首次使垂徑定理具有現(xiàn)代教材中所看到的完整形式。
定理內(nèi)容
垂徑定理
圓形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，每一條經(jīng)過圓心的直線都是它的對(duì)稱軸。
在圓中，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。這個(gè)結(jié)論稱為垂徑定理。
垂徑定理可以改述為：圓的弦的斜率與弦的中點(diǎn)和圓心連線的斜率之積為。
逆定理
垂徑定理的逆定理主要涉及兩個(gè)結(jié)論。平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧；平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦。
定理推論
垂徑定理的推論有：
垂徑定理及其推論可以概括為：一條直線如果具有（1）經(jīng)過圓心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，(5)平分弦所對(duì)的劣弧五個(gè)條件中的兩條，則此直線必然具備余下的三條性質(zhì)，即“知二推三”。
定理證明
已知：如圖1，在中，為直徑，是弦，于點(diǎn)，交于，求證：弧=弧，弧=弧。
證明：連接。因?yàn)槭堑陌霃剑設(shè)A=OB，所以是等腰三角形，因?yàn)椋裕ǖ妊切稳€合一）所以弧=弧，，弧=弧。
定理推廣
圓的垂徑定理可以改述為：圓的弦的斜率與弦的中點(diǎn)和圓心連線的斜率之積為。這一定理可以推廣到橢圓、雙曲線。
橢圓的垂徑定理
圓中有一條非直徑的弦，那么這條弦垂直于過其中點(diǎn)的直徑。對(duì)于橢圓也有類似的性質(zhì)，被稱為橢圓的“垂徑定理”。
已知橢圓的方程為，不過橢圓中心的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則直線與直線的斜率之積。
證明：設(shè)，則有和
兩式相減，有，而兩邊同時(shí)除以，并化簡(jiǎn)可得，利用平方差公式變形，有，
而，
所以。
當(dāng)時(shí)，橢圓的垂徑定理描述的內(nèi)容即為圓的垂徑定理。這里并不要求，也就是說此結(jié)論對(duì)焦點(diǎn)在軸和焦點(diǎn)在軸上的橢圓均適用。
雙曲線的垂徑定理
假設(shè)雙曲線的方程為，雙曲線可以看成“虛橢圓”，即，因此，根據(jù)橢圓的垂徑定理結(jié)論，得。
對(duì)于雙曲線的垂徑定理中的斜率之積。該結(jié)論對(duì)實(shí)軸在軸或在軸上的雙曲線均適用。
拋物線的垂徑定理
垂徑定理推廣到拋物線的結(jié)論為：
若點(diǎn)是拋物線的不平行于坐標(biāo)軸且不過拋物線頂點(diǎn)的弦的中點(diǎn)，則。
定理應(yīng)用
利用垂徑定理及其推論，結(jié)合勾股定理和三角函數(shù)的知識(shí)，可以解決現(xiàn)實(shí)生活中的很多問題。
例如：“圓材埋壁”是中國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問徑幾何？”答曰：“26寸”。
題目可以用數(shù)學(xué)語言描述為“如圖2，是的直徑，弦，垂足為，寸，寸，求直徑的長(zhǎng)。”
解：連接，于，是直徑，
(寸）。
在中，設(shè)，則
由勾股定理得
解得，寸，
（寸），所以直徑的長(zhǎng)為26寸。
例：如圖3，已知分別是圓內(nèi)接的內(nèi)角和外角的平分線，交于兩點(diǎn)，求證
證明：因?yàn)槠椒郑曰?弧，又因?yàn)槭堑耐饨瞧椒志€，，是的直徑，所以。
定理意義
每一條經(jīng)過圓心的直線都是圓的對(duì)稱軸。垂徑定理揭示了弦、直徑及弦所對(duì)的弧之間的一
種特殊的位置關(guān)系，反映了圓的軸對(duì)稱性，是圓的重要性質(zhì)之一。垂徑定理是證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系及三點(diǎn)共線的重要依據(jù)，同時(shí)也為進(jìn)行圓的計(jì)算、作圖提供了方法和依據(jù)。
參考資料 >