伯努利微分方程（Bernoulli differential equation）是一種非線性的一階微分方程，其形式為y'+P(x)y=Q(x)yn，其中n為常數，P(x)，Q(x)為連續函數，且n≠0，1。伯努利微分方程經過適當的變量變換之后，可以化為一階線性微分方程。
十七世紀末，科學家們為了解決物理問題和天文學問題開始研究導數方程，微分方程幾乎是與微分，積分同時產生。荷蘭數學家、 物理學家、天文學家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在1693年的《教師學報》中明確提出微分方程。雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）是利用微積分求常微分方程問題分析解的先驅者之一，在1690年，他發表的關于等時問題的解答中就引入了微分方程。在1691年6月的《學報》中他又給出了用微積分方法建立懸鏈線問題的解答。1691年，戈特弗里德·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出了常微分方程的變量分離法，并函告克里斯蒂安·惠更斯。最終，伯努利在1695年的學報中提出了伯努利微分方程的問題特征解。
伯努利導數方程主要有轉化為線性方程、常數變易法、變量代換法、積分因子法和部分湊微分法五種求通解的方法。伯努利微分方程可以進行推廣，擴大應用范圍。廣義伯努利方程的解法主要有全微分法和變量替換法。伯努利微分方程在工程學、流體力學和統計學中都有廣泛的應用，用于解決不同類型的問題。在流體力學中，伯努利微分方程在研究油品與海水二維流動中的流體運動提供了重要的理論基礎。
定義
形如的微分方程稱為伯努利微分方程，其中為常數，，為連續函數，且。
當時，方程為一階非齊次線性微分方程；當時，方程為一階齊次線性微分方程。
簡史
背景與起源
十七世紀末，科學家們為了解決物理問題和天文學問題開始研究微分方程，微分方程幾乎是與微分，積分同時產生。常微分方程最早的著作出現在數學家們彼此的通信中，或者出現在那些常常重登書信中建立或說明的結果的刊物中。1693年，荷蘭數學家、 物理學家、天文學家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在《教師學報》中明確提出微分方程。雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）是利用微積分求常微分方程問題分析解的先驅者之一，在1690年，他發表的關于等時問題的解答中就引入了微分方程。在1691年6月的《學報》中他又給出了用微積分方法建立懸鏈線問題的解答。同年，他的微積分教本中又對這個問題進行了完整的闡述。
提出和發展
1691年，戈特弗里德·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出了常微分方程的變量分離法，并函告克里斯蒂安·惠更斯。同年，他還給出的求解方法，約翰·白努利（Johann Bernoulli）在1694年的《教師學報》中對此作了更加完整的說明。1694年，萊布尼茨在利用變量替換法給出了的解。1695年，雅各布·伯努利在學報中提出了伯努利微分方程的問題特征解。1696年，戈特弗里德·萊布尼茨給出證明，利用變量替換，可以把伯努利微分方程化為關于未知函數及其導函數都是一次的線性方程。隨著計算機的發展，推動了數學問題的算法化，解決了許多只有算法而實際上又不可實行的問題。在19世紀，阿達·洛芙萊斯（Ada Lovelace）于1842年為查爾斯·巴貝奇（Charles Babbage）分析機編寫求解伯努利微分方程的程序，因此她被大多數人認為是世界上第一位程序員。
相關概念
微分方程
含有未知函數導數（或微分）的方程，稱為微分方程。在微分方程中，若未知函數是一元函數，則稱為常微分方程。未知函數是多元函數，則稱為偏微分方程。微分方程中未知函數導數的最高階數稱為微分方程的階。階微分方程一般記為。
例：（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
以上6個方程都是微分方程，其中（1）、（2）、（3）是一階常微分方程，（5）、（6）是二階常微分方程，（4）是二階偏微分方程。
一階線性微分方程
未知函數及其導數都是一次的微分方程，稱為一階線性微分方程。一階線性微分方程的一般形式為。其中，，為常數，稱為自由項或非齊次項。
若自由項時，方程稱為一階齊次線性微分方程。若自由項時，方程稱為一階非齊次線性微分方程。
一階齊次線性微分方程通解為，其中為任意常數。
求解方法
轉化為線性方程
伯努利微分方程可通過適當的變換化為線性方程，為展示這一過程，方程兩邊都除以可得（1）。
這里做變換，有。
則式（1）可化成如下一階線性微分方程：
（2）。
因此，伯努利微分方程可以做變換得到一階線性方程（2），也就是說伯努利微分方程的通解可由求方程（2）的通解得到。如果想求全部解，需要檢驗是否也是方程的解。
例1：求伯努利微分方程的通解。
改寫成伯努利微分方程的標準形式。
以遍除原微分方程，并作代換，，有，即。其通解為（這里，遍除已失去特解），其中為任意常數。
常數變易法
伯努利微分方程對應的一階齊次線性微分方程的通解為。
設（3）為伯努利微分方程的解，有（4）。
將（3）（4）式代入伯努利微分方程，得，即。
兩端取積分。
故伯努利微分方程通解為，其中為任意常數。
例2：求伯努利微分方程的通解。
設，得。
將其代入原方程，有，則。
所以方程的通解為，其中為任意常數。
變量代換法
設是伯努利微分方程的解 ，則，代入方程得（5）。
令，得（6）。
將（6）式代入（5）式得，
即。
故伯努利微分方程通解為，其中為任意常數。
例3：求伯努利微分方程的通解。
設是方程的解，代入方程得，即。
令，得。
代入上述方程為，則。
所以方程的通解為，其中為任意常數。
積分因子法
將伯努利微分方程改寫為微分形式，兩邊同時乘以，并變形得，兩邊同時乘以，得，也即。該式為全微分方程，因此所給的伯努利微分方程的積分因子為（7）。
所得全微分方程的通解 ，也即伯努利微分方程的通解為，其中為任意常數。
例4：求微分方程的通解。
該方程是的伯努利微分方程 ，由式（7）知其積分因子為。方程兩邊乘以積分因子并整理得，。
故通解為，其中為任意常數。
部分湊微分法
將伯努利微分方程兩端同時除以得，若存在使得，從而有。其中，，故有，從而有，，所以原方程的通積分為，其中為任意常數。
例5：求方程的通解。
此方程為伯努利微分方程，且，。
易得，。
推廣
廣義伯努利方程
伯努利微分方程可以進行推廣，擴大應用范圍。首先，將其變形為（1），其中。
在不考慮積分常數的情況下，，受此啟發，將方程（1）進行一般推廣，可得到廣義伯努利方程（2）。
滿足條件：（3）。
解法
全微分法
首先將滿足條件（3）的方程（2）等價地寫成如下形式
（4）。
設，，
雖然不是全微分方程 。由于僅跟有關 ，將上式兩端同乘以積分因子，得（5）。
當且僅當時 ，方程（5）為全微分方程 。于是有，故，從而得積分因子。
將上述積分因子代入（5），可得到在條件（3）下求廣義伯努利方程（2）的隱式解公式（為任意常數）。
變量替換法
首先 ，將（3）代入（2），有（7）。
進一步 ，有（8）。
令，則，于是可將（8）式變形為（9）。
（9）式兩邊同除以，整理得到。
通過求此一階線性非齊次微分方程 ，得到方程的隱式解，其中為任意常數。
應用
工程學
裂紋在航空航天及海洋結構中普遍存在，包括因材料缺陷、加工引起的初始裂紋和疲勞載荷引起的裂紋。研究裂紋擴展規律和裂尖應力場對評估結構剩余承載能力至關重要，特別是對于承受交變波浪載荷的船體結構。研究者基于能量差率原理，將非穿透裂紋深度的相對值作為控制裂紋擴展的無量綱幾何參量，構建了求解裂紋張開位移幅值的伯努利微分方程。通過這一方程，他們得出了裂紋張開位移幅值的表達式，并獲得了有限大體非穿透裂紋三維應力強度因子的閉合解。在這些研究中，裂紋通常被簡化為二維薄殼結構，但實際工程中裂紋形狀往往不規則，因此利用實體單元進行裂紋擴展和裂尖應力場分析有望提高計算精度。
流體力學
研究者應用伯努利微分方程提出理論模型， 通過解析計算并時域仿真了泄漏過程，開發了流體體積法（Volume of Fluid，VOF） 分析了破艙中油品與海水的二維流動來預測擱淺油船油品泄漏，但由于模型回避了油品泄漏過程中粘性流體瞬態流動的本質特征，只是通過縮尺模型試驗結果得到不同大小的能量修正系數，預測得到的泄漏時間存在很大差異。該預測方法體現了預測結果的不確定性，其中也暗含了由于流體粘性產生的尺度效應影響著泄漏過程與結果。
統計學
在自然災害風險分析中，災情數據都是呈起伏變化很難具備嚴格單調增加或嚴格單調減少的特點。非線性灰色伯努利模型（NGBM）便是針對這一問題所提出的。研究者將通過對洪澇災變年序列及其災情指數序列的研究，尋找規律，采用粒子群優化算法解決建模的參數優選問題，對原始序列進行累加生成以消除原序列的無序性，建立伯努利微分方程，運用差分和最小二乘法求微分方程的系數向量，建立基于粒子群的NGBM預測模型，對1990年至2013年的廣西洪澇中災年以上的災情指數及災變年進行擬合預測逐步實現灰色系統的洪澇災情與災變年的同步預測。
參考資料 >