伽利略·伽利萊變換（Galilean transformation）是伽利略相對論中的一組方程，能夠將勻速運動的兩個參考系中的時間和空間坐標聯系起來，其推導的理論基礎是經典體系下的絕對時間和絕對空間理論。在經典力學作用下，時間與空間相互獨立，此時的時空坐標變換理論即為伽利略變換，它保證了時間和空間的尺度在不同慣性系中觀測的一致性；但在狹義相對論中，時空是相關的，此時的時空坐標變換理論為洛倫茲變換，描述了時間和空間尺度在不同慣性系中觀測量的改變。
伽利略·伽利萊變換的思想最早出現在1632年伽利略·伽利萊（Galileo Galilei）所寫的《Dialogue Concerning the Two Chief World Systems》一書中關于相對性原理的論述中，用來反駁當時反對地球運動論的各種實驗，有力的說明了地球運動的合理性；之后亨利·龐加萊進一步提出了相對性原理，將所有物理規律變換到相對空間中。經過歷代科學家的不斷推廣，伽利略變換的思想和理論基礎不斷完善，最終在21世紀初期正式確立了伽利略變換的名稱。
總的來說伽利略變換作為經典力學中時空變換的基礎性方程，在經典力學的諸多領域都有廣泛應用；其體現出的伽利略相對性原理，更是為之后的艾薩克·牛頓相對性原理和阿爾伯特·愛因斯坦相對性原理奠定了基礎。時至今日，相對性原理及其衍生變換理論在宇觀尺度上仍然是物理學和天文學的基準，并且關系到引力和暗宇宙的演化，具有較大的物理意義。
簡史
伽利略·伽利萊變換實際上并不是由伽利略·伽利萊提出的，之所以被稱為伽利略變換，很大程度是由于伽利略變換是從伽利略·伽利萊提出的相對性原理中產生的。1632年，伽利略在他的著作《Dialogue Concerning the Two Chief World Systems》中提出“只要運動是均勻的，?不是這樣那樣波動，你就會發現所有提到的那些事情都沒有絲毫變化，你也?法從其中任何?個事情中判斷出船是在移動還是靜?不動”，這往往被認為是伽利略相對性的最早出處。
之后亨利·龐加萊在1902年出版的《科學與假設》中進一步地提出“在任一物質系統中發生的現象的規律(laws)將依賴于這些物體的狀態及其相互間距；但是，由于空間的相對性和被動性(passivity)，這些規律將不依賴于這個系統的絕對位置和取向”，將物理規律從絕對空間變換到了相對空間中，進一步確立了相對性原理。
伽利略變換的產生脫胎于相對性原理，1908年，Philippe Frank首次提出了“伽利略變換”的概念，之后伽利略變換的叫法被沿用至今，用來描述經典時空變換理論；時至今日，有學者證明了伽利略變換在波動方程變換下的不變性，進一步加強了伽利略變換和相對性原理。
原理
按照經典物理學，當兩個慣性參考系以恒速作相對運動時，兩個參考系中的時空變量服從的伽利略·伽利萊變換基本公式如下，這一線性公式同時也是伽利略平移變換的表征式，下文中的伽利略群則是伽利略旋轉變換的表征式。其中沿速度的方向，該伽利略變換方程的推導可以通過時空圖來完成。
利用時空圖推導伽利略變換方程
設參考系相對于參考系的運動速度為，用下圖表示兩個參考系的相對運動，觀察點的運動狀態分別由位于和兩個參考系中的靜止視鏡進行觀察。
根據位于參考系中的靜止觀察器，點以速度運動，并在時間內運動了距離；在位于參考系中的靜止觀察器看來，點以速度運動，在時間內運動了距離，此外，由于兩個參考系在相對運動，因此在時間內參考系相對參考系運動了距離，在圖中表現為綠色曲線。
按照經典物理學的觀點，時間和空間是不關聯的，時間是絕對的，與選擇的慣性參考系不同；長度則是借助一個不隨運動狀態改變的尺決定的，在不同慣性參考系下測量同一段長度得到的結果是相同的，即上圖中線段OP的長度在參考系和參考系中的測量結果相等，由此可得：
，
再進一步，由于，，所以由上式可得伽利略變換的速度方程為：
上面三個方程實際上就是三個傳統的伽利略方程，包含了時間、空間和速度三個變換公式；將空間坐標的變換進一步擴展到三維，取方向的相對運動速度為，可以得到在方向的坐標變換方程為：
，
將三個方向上的坐標變換方程與時間變換方程結合起來，就得到了在本章開頭所寫的伽利略·伽利萊時空變換的完整形式。這種利用幾何推導伽利略變換的方法使伽利略變換具有更強的可信性，并能夠應用到對于伽利略變換更新的研究中，如對于波方程對變換條件下伽利略變換的不變性的研究。
伽利略群
在伽利略變換中有變換前的四維坐標與變換后的四維坐標，其滿足的線性變換形式為，這里的G即為伽利略群的一個基本矩陣，對伽利略變換矩陣各值滿足如下的基本形式：
又由于伽利略變換的相對性，正變換與逆變換的形式相同，不同的僅僅在于宇稱符號的改變，因此該變換矩陣的逆矩陣。在此基礎上可給出伽利略群的定義為：，其對應的函數映射為，函數自變量為伽利略變換矩陣G，由變換矩陣的性質和函數映射的關系可得該映射函數滿足變換關系。
龐加萊群
亨利·龐加萊最先提出，應該把相對性原理作為自然界的普適原理之一，他在1904年提出“按照相對性原理，物理現象的定律對于靜止和勻速平動觀測者必須是相同的，因此沒有辦法、也不會有辦法確定觀測者處在哪一種運動狀態”。之后，龐加萊將伽利略變換推廣成了非齊次洛倫茲變換，并證明了洛倫茲變換構成群，且引進空間和時間的平移變換后，仍然成群，這種非齊次的洛倫茲變換群也被稱為龐加萊群，是龐加萊變換的群表達。不過，需要說明的是，亨利·龐加萊變換雖然是伽利略變換的推廣，但在光速無限大的極限條件下，一般的龐加萊變換會回到同樣具有10個參數的伽利略變換。
牛頓相對性原理
根據伽利略·伽利萊定律中的速度變換公式，對其求導可以得到加速度變換公式，由于參考系的相對運動速度與時間無關，因此有：，即，這說明同一質點的加速度在不同的慣性系內測得的結果是一樣的。
此外，在牛頓力學中，質點的質量和運動速度沒有關系，因而也不受到參照系的影響；又由于力只跟質點的相對位置或者相對運動有關，因此力也是和參照系無關的，即：。
因此，只要牛頓第二運動定律在參照系中是正確的，由以上信息必然有：，即對參照系來說，牛頓第二定律也是正確的，由于參照系的選擇是任意的，可以縮牛頓定律對于任何慣性系都是正確的，這樣，就由伽利略變換得到了艾薩克·牛頓相對性原理，這是牛頓力學的一個重要原理。
適用條件
伽利略變換與艾薩克·牛頓的絕對時間、絕對空間的概念有關，適用于低速、宏觀的經典物理學領域。在這種理論體系中，時間概念的定義是借絕對的“鐘”（它的運動狀態不影響其快慢）和某種傳播速度無限大的信號完成的；長度是借絕對的尺（它的運動狀態不影響其長度）來定義的，如果這一前提條件不成立，伽利略變換就不再成立，因此伽利略變換適用于非相對論效應下的低速宏觀領域。
相關問題
伽利略變換與電磁理論的矛盾
在十九世紀中葉，麥克斯韋理論已經基本形成，此時伽利略變換也已經在經典物理學中得到了廣泛應用，人們自然而然提出了這樣一個疑問：電磁現象的基本規律的形式對于不同的慣性系是否相同。后續的研究結果表明，采用伽利略變換對電磁現象的基本規律進行變換后，這些規律對不同的慣性系不具有相同的形式，這就意味著伽利略變換和電磁現象的符合性之間發生了矛盾，這其中尤以對光速數值的討論最為突出。
光速的矛盾
按照經典理論，以表示在參照系中測量得到的真空光速，以表示在參照系中測量得到的真空光速，根據伽利略變換的速度變換式可得：
但是根據詹姆斯·麥克斯韋的電磁場理論，光在真空中的速率由下式決定：
其中，分別是真空中的介電常數和磁導率，是兩個電磁學常數，與參照系無關。也就是說，按照麥克斯韋理論，在任何參照系中測得的光在真空中的速率應該是一致的，這一結論為后來的很多實驗所證明，其中最著名的實驗就是1887年阿爾伯特·邁克爾遜和莫萊的實驗。
這一實驗結果表明，光或者電磁波的運動不服從伽利略變換，詹姆斯·麥克斯韋電磁理論和伽利略變換這一直接的矛盾暴露了伽利略變換的絕對時空觀存在的問題——在高速情況下不一定適用。這也促使人們對時空的概念進行了更深入研究，繼而引出了后續對于狹義相對論和洛倫茲變換的研究，進一步完善了時空變換的體系。
研究意義
伽利略變換卻是牛頓經典力學的基礎性工作，由此展開的經典力學第一次給人們提供了一個統一的自然科學世界圖像，物體的運動規律和運動過程可以借助數學語言來準確描述，這些認識對于物理學其他分支學科都有很大影響，構造了物理學的基本框架。
除此之外，伽利略·伽利萊變換所體現出的伽利略相對性原理，將人類對于時空的認識向前推進了一大步，成為建立相對論的一個重要起點，在狹義相對論中，阿爾伯特·愛因斯坦將該原理的適用范圍進一步擴展到了所有物理現象。時至今日，相對性原理及其衍生變換理論在宇觀尺度上仍然是物理學和天文學的基準，并且關系到引力和暗宇宙的演化，具有較大的物理意義。
參考資料 >