愛爾蘭根綱領(lǐng)(Erlanger Programme) 是菲利克斯·克萊因于1872年發(fā)表一個深具影響的研究綱領(lǐng)，題為Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen（新幾何研究上比較的觀點(diǎn)），由于克萊因那個時候在愛爾蘭根 而得名。該綱領(lǐng)建議了對于那個時候的幾何問題的一種新的解決辦法。
基本概況
有一個'幾何'還是很多個？自歐幾里得以來，幾何意味著二維(平面幾何)或者三維(立體幾何)歐氏空間的幾何。在19世紀(jì)上半葉，有了一些發(fā)展使得這個景象變得復(fù)雜了。應(yīng)用數(shù)學(xué)要求有四維或者更高維的幾何；對傳統(tǒng)歐氏幾何的基礎(chǔ)的審視已經(jīng)揭示出平行公理和其他公理的獨(dú)立性，而且非歐幾里得幾何已經(jīng)誕生；而在射影幾何中，新的'點(diǎn)'(無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，有復(fù)數(shù)坐標(biāo)的點(diǎn))已經(jīng)被引入。
用抽象術(shù)語來說，這個解決辦法是使用對稱性作為根本的原則，并且從一開始就陳述不同的幾何可以共存，因?yàn)樗鼈兲幚聿煌愋偷拿}和不同類型的對稱性和變換下的不變量。仿射幾何和射影幾何的區(qū)別就在于諸如平行這種仿射不變量的概念是前者的恰當(dāng)主題，而對后者來說卻不是主要概念。然后，通過從各個幾何中抽象出基礎(chǔ)的對稱群，它們之間的關(guān)系可以在群的級別重新建立。因?yàn)榉律鋷缀蔚娜菏巧溆皫缀蔚娜旱淖尤海猩溆皫缀蔚母拍畈蛔兞肯闰?yàn)的在仿射幾何中有意義；但是反過來不行。如果你包含更多對稱性進(jìn)來，你就有一個更強(qiáng)的理論，但更少的概念和定理(但會更深刻和一般化)。
齊性空間
換而言之，各種"傳統(tǒng)空間"是齊性空間；但是不是對于一個唯一確定的群。改變?nèi)壕透淖兞讼鄳?yīng)的幾何語言。
在今天的語言中，經(jīng)典幾何中考慮的群都是很著名的李群。特定的關(guān)系用技術(shù)化的語言很容易描述。
仿射幾何
例如n維射影幾何的群就是n維射影空間的對稱群(n+1階矩陣群，取和標(biāo)量矩陣的商)。該仿射群是保持所選的無窮遠(yuǎn)超平面不變(映射集合到自身，不是固定每一點(diǎn))的子群。這個子群有一個已知的結(jié)構(gòu)(n階矩陣群和平移子群的準(zhǔn)直積)。這個表述告訴我們什么性質(zhì)是'仿射的'。用歐氏平面幾何術(shù)語，平行就是：仿射變換總是將一個平行四邊形變成另一個平行四邊形。而圓不是仿射地，因?yàn)榉律浼羟锌梢园褕A變成橢圓。
要精確的解釋仿射和歐氏幾何之間的關(guān)系，我們要在仿射群中點(diǎn)出歐氏幾何的群。歐氏群實(shí)際上是(采用前面仿射群的表述)正交(旋轉(zhuǎn)和反射)群和平移群的準(zhǔn)直積。
工作上的影響
愛爾蘭根綱領(lǐng)的長期效應(yīng)可以在純粹數(shù)學(xué)的很多方面顯現(xiàn)出來(例如，參看相似中隱含的使用);而變換的思想和用對稱群綜合的思想當(dāng)然也已成為物理學(xué)中的標(biāo)準(zhǔn)做法。
當(dāng)拓?fù)湔绽褂?a href="/hebeideji/1665761417482438564.html">同胚下的不變量的術(shù)語來表述時，我們可以看到操作背后的基礎(chǔ)思想。所涉及到的群在幾乎所有情況下 - 除了李群 - 都是無窮維的，但其方法是一樣。當(dāng)然這只是說菲利克斯·克萊因的影響啟發(fā)。諸如H.S.M. 考克斯特所寫的書例行的采用愛爾蘭根綱領(lǐng)的方法來幫助'定位'幾何。用說教的術(shù)語，該綱領(lǐng)成了變換幾何，這是一個有一些不良影響的好事，它比歐幾里得的風(fēng)格建立在更強(qiáng)的直覺上，但是也更難轉(zhuǎn)換成為邏輯體系。
對于一個幾何和它的群，群的一個元素有時叫做該幾何的一個運(yùn)動。例如，可以通過基于雙曲運(yùn)動的一個發(fā)展來學(xué)習(xí)雙曲幾何的亨利·龐加萊半平面模型。
抽象的回歸
經(jīng)常，兩個或者更多的不同的幾何有同構(gòu)的自同構(gòu)群。這就產(chǎn)生了從愛爾蘭根綱領(lǐng)的抽象群解讀出具體的幾何的問題。
一個例子: 可定向 (也就是說，反射是除外的)黎曼幾何 (也就是，把n球面相對點(diǎn)等同的曲面)和可定向 球面幾何 (同樣的非歐幾里得幾何，但是相對的點(diǎn)沒有等同起來)有同構(gòu)的自同構(gòu)群，偶數(shù)n的SO(n+1)。這兩個看起來不同。但是事實(shí)上，這兩個幾何緊密相關(guān)，以一種可以精確描述的方式。
在舉一例，不同曲率半徑的橢圓幾何有同構(gòu)的自同構(gòu)群。這其實(shí)不能算作一個評價，因?yàn)樗羞@種幾何同構(gòu)。一般的黎曼幾何在這個綱領(lǐng)所能包括的邊界之外。
更多值得注意的例子產(chǎn)生于物理學(xué)中。
首先，n維雙曲幾何，n維de Sitter空間和(n?1)維逆幾何(inversive geometry)都有同構(gòu)的自同構(gòu)群，
O(n,1)/\mathbb{Z}_2,
正確時間的洛倫茲群，對于n ≥ 3的情況。但是這些顯然是不同的幾何。這里，有些有趣的結(jié)果從物理學(xué)中進(jìn)來。已經(jīng)證明這三個幾何中的任何一個中的物理模型是對于某些模型對偶的。
還有, n維反de Sitter空間和有"洛倫茲"特征數(shù)的(n?1)維共形空間（conformal space）(和有"歐幾里得"特征數(shù)的共形空間不同，那種和逆幾何相同，對于3維以上情況)有同構(gòu)的自同構(gòu)群，但是不同的幾何。再次，在物理中有一些在兩個空間中對偶的模型。更多的細(xì)節(jié)參看AdS/CFT。
所以，在和物理中的對偶性的關(guān)系中，愛爾蘭根綱領(lǐng)還是可以視為相當(dāng)豐富的。
幾何的推廣
菲利克斯·克萊因的觀點(diǎn)實(shí)際上將幾何視為兩個群(通常是李群)的商G/H,上節(jié)提到相關(guān)的各種幾何的同構(gòu)的自同構(gòu)群也就是同構(gòu)的H。因而，上述的愛爾蘭根綱領(lǐng)的局限性可以通過引入附加的結(jié)構(gòu)來彌補(bǔ)。換而言之，克萊因幾何沒有考慮空間的不均勻性，因而只有齊性空間得到了處理。如果在此基礎(chǔ)上引入聯(lián)絡(luò)，則就像引入度量將歐氏幾何推廣為黎曼幾何一樣，我們將克萊因幾何推廣到了卡當(dāng)幾何。細(xì)節(jié)可以參看卡當(dāng)聯(lián)絡(luò)。
參考資料 >