艾森斯坦整數(shù)是具有以下形式的復數(shù)：a+bω，其中a和b是整數(shù)，且ω是三次單位根，具體為ω = (1/2)(-1+i√3) = e^(2πi/3)。艾森斯坦整數(shù)在復平面上形成了一個六邊形的點陣結(jié)構(gòu)，與高斯整數(shù)形成的正方形點陣不同。
簡介
設x和y是艾森斯坦整數(shù)，如果存在某個艾森斯坦整數(shù)z，使得y = zx，則我們說x能整除y。這是整數(shù)的整除概念的延伸。因此我們也可以延伸素數(shù)的概念：一個非可逆元的艾森斯坦整數(shù)x是艾森斯坦素數(shù)，如果它唯一的因子是ux的形式，其中u是六次單位根的任何一個。
我們可以證明，任何一個被3除余1的素數(shù)都具有形式x^2?xy+y^2，因此可以分解為(x+ωy)(x+ω^2y)。因為這樣，它在艾森斯坦整數(shù)中不是素數(shù)。被3除余2的素數(shù)則不能分解為這種形式，因此它們也是艾森斯坦素數(shù)。任何一個艾森斯坦整數(shù)a + bω，只要范數(shù)a^2?ab+b^2為素數(shù)，那么就是一個艾森斯坦素數(shù)。實際上，任何一個艾森斯坦整數(shù)要么就是這種形式，要么就是一個可逆元和一個被3除余2的素數(shù)的乘積。
性質(zhì)
艾森斯坦整數(shù)在代數(shù)數(shù)域 Q(ω)中形成了一個代數(shù)數(shù)的交換環(huán)。每一個 z = a + bω都是首一多項式z^2-(2a-b)z+(a^2-ab+b^2)的根。ω滿足方程ω^2+ω+1=0，因此艾森斯坦整數(shù)是代數(shù)數(shù)。艾森斯坦整數(shù)的范數(shù)是它的絕對值的平方，由公式|a+bω|^2=a^2-ab+b^2給出，因此它總是整數(shù)。由于4a^2-4ab+4b^2=(2a-b)^2+3b^2，非零艾森斯坦整數(shù)的范數(shù)總是正數(shù)。
艾森斯坦整數(shù)環(huán)中的可逆元群是復平面中六次單位根所組成的循環(huán)群，包括{±1, ±ω, ±ω^2}，它們是范數(shù)為一的艾森斯坦整數(shù)。
歐幾里德域
艾森斯坦整數(shù)環(huán)形成了一個歐幾里德域，其范數(shù)N由公式N(a+bω)=a^2-ab+b^2給出。這是因為N(a+bω)=|a+bω|^2=(a+bω)(a+bω?)=a^2+ab(ω+ω?)+b^2=a^2-ab+b^2。這個性質(zhì)說明了在艾森斯坦整數(shù)環(huán)中，任何兩個整數(shù)都可以進行帶余除法，余數(shù)的范數(shù)小于被除數(shù)的范數(shù)。
參考資料 >