在線性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關系。兩個矩陣A和B是合同的，當且僅當存在一個可逆矩陣 C，使得CTAC=B，則稱方陣A合同于矩陣B.
一般在線代問題中，研究合同矩陣的場景是在二次型中。二次型用的矩陣是實對稱矩陣。兩個實對稱矩陣合同的充要條件是它們的正負慣性指數相同。由這個條件可以推知，合同矩陣等秩。
相似矩陣與合同矩陣的秩都相同。
定義
合同矩陣：設A,B是兩個n階方陣，若存在可逆矩陣C，使得
則稱 方陣A與B合同，記作。
在線性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關系。一般在現代問題中，研究合同矩陣的場景是在二次型中。二次型用的矩陣是 實對稱矩陣。兩個 實對稱矩陣合同的 充要條件是它們的 正負慣性指數相同。由這個條件可以推知，合同矩陣 等秩。
性質
合同關系是一個等價關系，也就是說滿足：
1、反身性：任意矩陣都與其自身合同；
2、對稱性：A合同于B，則可以推出B合同于A；
3、傳遞性：A合同于B，B合同于C，則可以推出A合同于C；
4、合同矩陣的 秩相同。
矩陣合同的主要判別法：
設A,B均為復數域上的n階對稱矩陣，則A與B在復數域上合同等價于A與B的秩相同.
設A,B均為實數域上的n階對稱矩陣,則A與B在實數域上合同等價于A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負特征值的個數相等）。
正定二次型
主條目：正定二次型
半正定二次型：其對應的對稱矩陣在實數域內可以合同到一個對角線元素只由0和1構成的對角矩陣。
一個二次型是半正定二次型，當且僅當它的正慣性指數等于它對應矩陣的秩。
正定二次型：其對應的對稱矩陣在實數域內合同于單位陣。
一個n元二次型是正定二次型，當且僅當它的正慣性指數是n。正定二次型對應矩陣一定是可逆矩陣，且行列式大于0。
同樣的可以定義半負定、負定和不定的二次型。
發展史
1855 年，埃米特(C.Hermite,1822-1901) 證明了其他數學家發現的一些矩陣類的特征根的特殊性質，如現在稱為埃米特矩陣的特征根性質等。后來，克萊伯施(A.Clebsch,1831-1872) 、布克海姆(A.Buchheim) 等證明了對稱矩陣的特征根性質。泰伯(H.Taber) 引入矩陣的跡的概念并得出了一些有關的結論。
在矩陣論的發展史上，弗羅伯紐斯(G.Frobenius,1849-1917) 的貢獻是不可磨滅的。他討論了最小多項式問題，引進了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質。
1854 年，約當研究了矩陣化為標準型的問題。1892 年，梅茨勒(H.Metzler) 引進了矩陣的超越函數概念并將其寫成矩陣的冪級數的形式。
應用
矩陣合同不僅在純數學中具有重要意義，還在流體力學、動力學、動力系統、工程設計、信號處理等多個領域得到廣泛應用。
參考資料 >