羅爾定理（羅爾中值定理，Rolle‘s theorem）為：如果函數在閉區間上連續，在開區間中處處可導，且，則在中至少存在一點使得。利用羅爾定理可以證明方程根的存在性。其幾何意義為閉區間上方的一條可微的曲線，如果其兩端點在同一水平線上，則它一定有一條切線是水平的。
1691年，法國數學家羅爾（Rolle）在《方程的解法》一文中給出多項式形式的羅爾定理，并用純代數方法證明。后人根據微積分理論重新證明羅爾定理，并把它推廣為一般函數。1834年，德國數學家德羅比什（Drobisch）給出“羅爾定理”這一名稱，由意大利數學家貝拉維蒂斯（Bellavitis）在1846年發表的論文中正式使用。
羅爾定理可由費馬定理及閉區間上連續函數的最大（小）值定理推導證明。羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等導數中值定理是微分學的核心內容。
定義
羅爾定理為：如果函數在閉區間上連續，在開區間中處處可導，且，則在中至少存在一點使得。
幾何意義
羅爾定理的幾何意義為：若連續曲線 y=f(x) 在區間 [a,b] 上所對應的弧段 AB，除端點外處處具有不垂直于 x 軸的切線，且在弧的兩個端點 A,B 處的縱坐標相等，則在弧 AB 上至少有一點 C，使曲線在 C 點處的切線平行于 x 軸。
簡史
拉格朗日微分中值定理的特殊情況
公元前，古希臘數學家在幾何研究中得到如下結論：“過拋物線弓形的頂點的切線必平行于拋物線弓形的底”，這是拉格朗日中值定理的特殊情況，希臘著名數學家阿基米德（Archimedes）利用這一結論求出拋物弓形的面積。
幾何形式的微分中值定理
1635年，意大利卡瓦列里（Cavalieri）在《不可分量幾何學》卷一中給出處理平面和立體圖形切線的引理，其中引理3基于幾何的觀點敘述了同樣事實：曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦，這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列里定理。
費馬定理與羅爾定理
積分建立之初，人們開始對微分中值定理的研究。1637年,法國數學家皮耶·德·費瑪（Fermat）在《求最大值和最小值的方法》中給出費馬定理，可由費馬定理推出羅爾定理。1691年，法國數學家羅爾（Rolle）在《方程的解法》一文中給出多項式形式的羅爾中值定理，并用純代數方法證明，該定理是現在教科書上羅爾中值定理的特例，在當時與微積分沒有聯系。此后，后人根據微積分理論重新證明羅爾中值定理，并把它推廣為一般函數。1834年，德國數學家德羅比什（Drobisch）給出“羅爾定理”這一名稱，由意大利數學家貝拉維蒂斯（Bellavitis）在1846年發表的論文中正式使用。
拉格朗日中值定理與柯西中值定理
1797年法國數學家約瑟夫·拉格朗日在《復變函數》一書中給出拉格朗日中值定理及其最初的證明。法國數學家奧古斯丁-路易·柯西（Cauchy）對微分中值定理進行系統研究，賦予微分中值定理以重要作用，使其成為微分學的核心定理。1823年，他在《無窮小計算教程概論》中，嚴格證明了拉格朗日中值定理，并于1829年在《微分計算教程》中將其推廣為廣義微分中值定理及柯西中值定理。
推導證明
羅爾定理的證明如下：
若為常數，對任意一點成立；
若不為常數，至少有一點：或，
又因閉區間上連續函數有最大值與最小值，
在時，在上的最大值不在端點與處達到，
而在某點處達到，即 ，
由此推出點是極大值點，由費馬定理可得
當時，在上的最小值不在端點與處達到，
而在某點處達到，即 ，
由此推出點是極小值點，同樣由費馬定理可得，
證畢。
相關定理
費馬定理
羅爾定理是費馬定理及閉區間上連續函數的最大（小）值定理的直接推論。費馬定理為：設在一點附近有定義，且在點可微，若點為的極值點，則。
拉格朗日中值定理
從幾何觀點來，羅爾定理講述的是曲線弧的兩個端點所確定的弦與切線的關系：當弦是水平的時候，弧上有一點的切線也是水平的。而不論弦是否是水平的，弧上總有一點其切線與弦平行，這便是拉格朗日中值定理定理。拉格朗日中值定理為：設 在上連續，在內可導，則存在一點，使得。
柯西中值定理
柯西中值定理是拉格朗日中值定理定理的一種推廣，柯西中值定理為：設與在上連續，在內可導，且（），則存在一點，使得
。
推廣
對羅爾定理的推廣主要可分為2類，第1類為通過函數性質估計導數零點個數的下界，第2類為通過導數性質估計原函數零點個數的上界。
應用
羅爾定理反映了函數與導函數之間的內在聯系，對函數零點個數的研究有重要意義，利用羅爾定理可以證明方程根的存在性。
例如：
在區間有連續的二階導數，且
求證：存在，使
證明：因為，
驗證在上滿足羅爾定理，則結論可證。
參考資料 >