在數(shù)學(xué)中，距離是泛函分析中最基本的概念之一。它所定義的距離空間連接了拓?fù)淇臻g與賦范向量空間等其他空間，是學(xué)習(xí)泛函分析首先接觸的概念。
定義
設(shè)是任一非空集，對(duì)中任意兩點(diǎn)有一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)且滿足：
1)非負(fù)性、同一性：，且當(dāng)且僅當(dāng)；
2)對(duì)稱性：；
3)直遞性：。
稱為中的一個(gè)距離，定義了距離的集稱為一個(gè)距離空間，記為，在不引起混亂的情形下簡(jiǎn)記為。
示例
本節(jié)共提供三個(gè)例子。
例1設(shè)是元實(shí)數(shù)組全體，令，其中，。
我們證明是一個(gè)距離空間，為此我們需要驗(yàn)證滿足距離的三條公理。1)，2)顯然成立，關(guān)鍵是證明3)成立。我們先證明一下Cauchy不等式：對(duì)任意實(shí)數(shù)，我們有
事實(shí)上，任取實(shí)數(shù)，則
上面等式左端是的一個(gè)二次三項(xiàng)式，于是它的判別式不大于0，即Cauchy不等式成立。
下面證明3)成立，由Cauchy不等式，得
設(shè)是任意三點(diǎn)，在上面不等式中令，則
即所以是一個(gè)距離空間，我們把這個(gè)空間簡(jiǎn)記為。
例2考慮區(qū)間上所有連續(xù)函數(shù)集，設(shè)是上任意兩個(gè)連續(xù)函數(shù)，定義，由于也是上的連續(xù)函數(shù)，因此有最大值。距離公理1)2)顯然成立。設(shè)是上任意三個(gè)連續(xù)函數(shù)，則所以
由此可知上的連續(xù)函數(shù)全體賦以上述距離是一個(gè)距離空間，記為。
例3考慮實(shí)數(shù)列的全體。設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)列，定義
上式右邊的是一個(gè)收斂因子，保證級(jí)數(shù)收斂，距離公理的1)2)顯然成立，為證明3)成立，考慮上的函數(shù)，易見，所以是單增的。由此，設(shè)。由于則有
在上不等式兩邊乘并求和，得到我們稱這個(gè)距離空間為。
參考資料 >