相平面（相位 plane）是一種用于研究非線性系統(tǒng)的方法，它通過可視化的方式來展現(xiàn)特定微分方程的特性。相平面是由兩個狀態(tài)變量構(gòu)成的平面，如(x, y)或(q, p)等。它是多維相空間的一個二維示例。相平面法（phase plane method）是一種通過圖形化手段來確定微分方程的解中是否存在極限環(huán)的方法。這種方法可以通過繪制向量場來分析系統(tǒng)的動態(tài)行為，從而識別出可能存在的極限環(huán)。
歷史沿革
相平面法最早由法國數(shù)學家亨利·龐加萊（Poincaré H）于1885年提出，這是一種用于求解一階和二階線性或非線性系統(tǒng)的圖解法。
方法介紹
相平面分區(qū)控制方法是根據(jù)相平面的不同分區(qū)實施相應的控制作用，通過對這些控制作用的調(diào)整，可以改變原系統(tǒng)微分方程的運動軌跡。相平面上的橫坐標代表偏差，縱坐標代表偏差變化率。通過設定不同限制，可以在相平面上劃分為多個區(qū)域，每個區(qū)域?qū)环N特定的控制作用，從而實現(xiàn)對系統(tǒng)運行工況的精細控制。
應用實例
相平面法在物理學和化學等領域有著廣泛的應用。它可以被用來分析物理系統(tǒng)的行為，尤其是振蕩系統(tǒng)，如獵食者-獵物模型。此外，它還可以幫助理解一些多步驟化學反應的動力學過程。
線性系統(tǒng)的例子
二維線性微分方程系統(tǒng)可以表示為以下形式：
\begin{aligned}
\frac{dx}{dt} &= Ax + By \\
\frac{dy}{dt} &= Cx + Dy
\end{aligned}
這個系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為矩陣形式：
\begin{aligned}
\fracebjnhbe{dt}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\
\frac{d\mathbf{x}}{dt} &= \mathbf{A}\mathbf{x}.
\end{aligned}
其中\(zhòng)mathbf{A}是2\times 2的系數(shù)矩陣，\mathbf{x}=(x,y)是兩個自變量組成的坐標向量。這個系統(tǒng)可以通過特征值和特征向量來求解，特征值表示指數(shù)項的冪次，而特征向量為其系數(shù)。通解可以表示為幾個指數(shù)項配合對應系數(shù)的和，具體形式為：
x=\begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \end{bmatrix}c_1e^{\lambda_1 t}+\begin{bmatrix} k_3 \\ k_4 \end{bmatrix}c_2e^{\lambda_2 t},
其中\(zhòng)lambda_1和\lambda_2是特征值，(k_1,k_2),(k_3,k_4)是基礎特征向量。系數(shù)c_1和c_2取決于特征向量的唯一性和初始條件。
特征向量及節(jié)點
特征向量和節(jié)點決定了相路徑的形態(tài)。在繪制相平面時，會先畫出對應兩個特征向量的直線，然后用帶有態(tài)射的實線替換向量場中每個點的箭頭。特征值的正負號會影響相平面的性質(zhì)：
若兩個符號一正一負，則特征向量的交點為鞍點。
若兩個符號均為正，則交點是不穩(wěn)定節(jié)點。
若兩個符號均為負，則交點是穩(wěn)定節(jié)點。
這一解釋可以從導數(shù)方程解中指數(shù)解的行為得出。
重復的特征值
如果兩個特征值相同，那么需要通過一個未知向量和第一個特征向量來求解系數(shù)矩陣，從而獲得第二個解。但是，如果系統(tǒng)具有特殊性，也可以使用正交的特征向量來獲得第二個解。
有虛部的特征值
如果有虛部的復數(shù)特征值，那么它的解包括了正弦和余弦函數(shù)（可以表示為冪次為復數(shù)的次數(shù)）。在這種情況下，只需要一個特征值和一個特征向量就能產(chǎn)生系統(tǒng)的完整解。
參考資料 >
自動控制原理8.3：相平面法.CSDN博客.2024-09-11
第七章相平面法.豆丁網(wǎng).2024-09-11
第7章--相平面法.ppt.人人文庫.2024-09-11