在數學中，特別是在動態系統理論里，極限環是相空間里的一條閉合的（周期性的）軌跡，使得至少另一個軌跡會隨自變量（如時間）變化而逐漸逼近它（在自變量趨于正無窮或負無窮的時候）。極限環是非線性系統特有的現象，線性系統可以有周期解（如簡諧振動），但不存在極限環。在實數軸上的一維自洽系統不存在周期解，故只有二維以上或非自洽系統才會有極限環。穩定的極限環會導致持續振蕩的情況：若一開始軌跡是極限環，則關于軌跡的任意的小擾動都會導致系統重新回到極限環的狀態。故穩定的極限環是一種吸引子。
簡介
相平面內的封閉相軌跡與實際系統的周期運動相對應。保守系統在穩定平衡位置附近的等幅自由振動對應于相平面內圍繞中心奇點的封閉相軌跡族。在密集的封閉相軌跡族中，實際相軌跡的振幅由初始運動狀態確定。自激振動是一種特殊的周期運動，它的振幅和頻率由系統的物理參數惟一確定，與初始運動狀態無關。因此自激振動在相平面內的相軌跡是孤立的封閉曲線，稱作相平面的極限環。極限環可以是穩定的也可以不穩定。當相點由于擾動偏離極限環后，即沿新的相軌跡運動，若擾動后的相軌跡仍漸近地貼近極限環，則稱極限環是穩定的。反之，若擾動后的相軌跡遠離極限環，則極限環不穩定。只有穩定的極限環才是物理上可實現的自激振動。
定義
對一個動態系統自變量和狀態變量。若該系統的解不經過平衡點，但存在使得對任意成立，則是一條封閉的軌道，或周期解。如果當時間趨于正無窮時，所有的鄰近軌跡都趨近于極限環，那么所在的流形被稱為穩定的，或者稱極限環是穩定的（吸引的）。反之，如果時間趨于正無窮時，所有的鄰近軌跡都遠離于極限環，那么稱流形是不穩定的或者極限環是不穩定的（非吸引的）。在所有其它情況下，流形既不是穩定也不是不穩定的。
存在性和個數
多項式型的微分方程的極限環個數是戴維·希爾伯特第十六問題第二部分的主要目標。對于二維非線性導數方程組，本迪克森準則和龐加萊-本迪克松定理給出極限環存在（或不存在）的條件，而極限環個數或分布則是尚未得到解決的問題。
參考資料 >