吸引子 是微積分和系統(tǒng)科學(xué)論中的一個(gè)概念。一個(gè)系統(tǒng)有朝某個(gè)穩(wěn)態(tài)發(fā)展的趨勢(shì)，這個(gè)穩(wěn)態(tài)就叫做吸引子。吸引子分為 平庸吸引子 和 奇異吸引子。
例如一個(gè)鐘擺系統(tǒng)，它有一個(gè)平庸吸引子，這個(gè)吸引子使鐘擺系統(tǒng)向停止晃動(dòng)的穩(wěn)態(tài)發(fā)展。
平庸吸引子有不動(dòng)點(diǎn)（平衡）、極限環(huán)（周期運(yùn)動(dòng)）和整數(shù)維環(huán)面（概周期運(yùn)動(dòng)）三種模式。而不屬于平庸的吸引子的都稱為奇異吸引子，它表現(xiàn)了混沌系統(tǒng)中非周期性，無(wú)序的系統(tǒng)狀態(tài)，例如天氣系統(tǒng)。
對(duì)于吸引子，學(xué)術(shù)上并沒(méi)有完善的定義，目前僅處于概念階段。吸引子中的奇異吸引子對(duì)于餃子系統(tǒng)的研究意義重大
簡(jiǎn)介
那么什么是吸引子呢？吸引子是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，描寫(xiě)運(yùn)動(dòng)的收斂類型，它存在于相平面。簡(jiǎn)言之，吸引子是指這樣的一個(gè)集合，當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，在任何一個(gè)有界集上出發(fā)的非定常流的所有軌道都趨于它。這樣的集合有很復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)。由于吸引子與混沌現(xiàn)象密不可分，深入了解吸引子集合的性質(zhì)，對(duì)更好了解它們所描述的流，對(duì)揭示出現(xiàn)混沌的規(guī)律與結(jié)構(gòu)是很必要的。
特征
系統(tǒng)演化
從相空間上看，系統(tǒng)演化的目的體現(xiàn)為一定的點(diǎn)集合，代表演化過(guò)程的終極狀態(tài)，即目的態(tài)，具有如下特征：
(1)終極性，處于非目的態(tài)的系統(tǒng)“不安于現(xiàn)狀”，力求離之遠(yuǎn)去，處于目的態(tài)的系統(tǒng)則“安于現(xiàn)狀”，自身不再愿意或無(wú)力改變這種狀態(tài)（也可以叫做惰性）。
(2)穩(wěn)定性，目的態(tài)是系統(tǒng)自身質(zhì)的規(guī)定性的體現(xiàn)，這種規(guī)定性只有在穩(wěn)定狀態(tài)中才能確立起來(lái)并得到保持，不穩(wěn)定狀態(tài)不可能成為目的態(tài)；
(3)吸引性，吸引性是目的性的根本要素，沒(méi)有吸引力的狀態(tài)不能成為系統(tǒng)演化所追求的目標(biāo)。只要系統(tǒng)尚未到達(dá)目的態(tài)，現(xiàn)實(shí)狀態(tài)與目的態(tài)之間必定存在非0的吸引力，牽引著系統(tǒng)向目的態(tài)運(yùn)動(dòng)。相空間中滿足以上3個(gè)條件的點(diǎn)集合A(可能包含1個(gè)點(diǎn)、有限個(gè)點(diǎn)或無(wú)限個(gè)點(diǎn))，被稱為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的吸引子。吸引子只能是定態(tài)，而且必須是穩(wěn)定態(tài)。
吸引子
其實(shí)，我們?cè)缫呀?jīng)接觸過(guò)吸引子了。在動(dòng)力學(xué)里，就平面內(nèi)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定系統(tǒng)——哈密頓系統(tǒng)——而言，吸引子不外是：1.單個(gè)點(diǎn)2.穩(wěn)定極限環(huán)。也可解釋為：長(zhǎng)期運(yùn)動(dòng)不外是：1.靜止在定態(tài)2.周期性地重復(fù)某種運(yùn)動(dòng)系列。在非餃子體系中，這兩種情況都是“一般吸引子”，而在混沌體系中，第二種情況則被稱為：“奇怪吸引子”，它本身是相對(duì)穩(wěn)定的，收斂的，但不是靜止的。奇怪吸引子是穩(wěn)定的、具分形結(jié)構(gòu)的吸引子。保守系統(tǒng)由于相體積永遠(yuǎn)不變，所以不存在吸引子，而耗散系統(tǒng)則不然，相體積在演化過(guò)程中不斷收縮，各種各樣的運(yùn)動(dòng)在演化中逐漸衰亡，最后只剩下少數(shù)自由度決定的長(zhǎng)時(shí)間行為，即：耗散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)最終趨向維數(shù)比原始相空間低的極限集合，這個(gè)極限集合就是吸引子一個(gè)系統(tǒng)可能沒(méi)有吸引子，也可能同時(shí)存在多個(gè)吸引子。不同吸引子可能屬于同一類型，也可能屬于不同類型。原則上講，幾類吸引子的各種組合都可能出現(xiàn)。例如，同時(shí)存在幾個(gè)結(jié)點(diǎn)，或同時(shí)存在不動(dòng)點(diǎn)和極限環(huán)，或同時(shí)存在不動(dòng)點(diǎn)、極限環(huán)、奇怪吸引子，或同時(shí)有幾個(gè)奇怪吸引子，等等。
一般地，系統(tǒng)越復(fù)雜，吸引子(如果存在的話)結(jié)構(gòu)就越復(fù)雜。那么，如何刻畫(huà)或度量吸引子的復(fù)雜性，這是研究吸引子的重要內(nèi)容。凡存在吸引子的系統(tǒng)，均為有目的的系統(tǒng)。從暫態(tài)向漸近穩(wěn)定定態(tài)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，就是系統(tǒng)尋找目的的過(guò)程。所謂目的，就是在給定的環(huán)境中，系統(tǒng)只有在目的點(diǎn)或目的環(huán)上才是穩(wěn)定的，離開(kāi)了就不穩(wěn)定，系統(tǒng)自己要拖到點(diǎn)或環(huán)上才能罷休。
分類
概念
一般來(lái)說(shuō)，非線性系統(tǒng)可能具有0,1,2, ...等各種維數(shù)的平庸吸引子。高維吸引子最可能有準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，而不是周期振動(dòng)。然而自呂勒(Ruelle)和塔根斯(Takens)的工作以來(lái)，人們?cè)絹?lái)越清楚地看到，一般說(shuō)來(lái)準(zhǔn)周期軌道成為吸引子的可能性不大，更可能出現(xiàn)的是所謂奇怪吸引子。
奇怪吸引子
奇怪吸引子是耗散系統(tǒng)餃子現(xiàn)象的另一個(gè)重要的特征。簡(jiǎn)單地說(shuō)奇怪吸引子就是相空間（對(duì)連續(xù)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，至少是三維；對(duì)離散的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，至少是二維）的一個(gè)有限的區(qū)域內(nèi)，由無(wú)窮多個(gè)不穩(wěn)定點(diǎn)集組成的一個(gè)集合體。奇怪吸引子有兩個(gè)最重要的特征：（1）對(duì)初始條件有敏感的依賴性。在初始時(shí)刻從這個(gè)奇怪吸引子上任何兩個(gè)非常接近的點(diǎn)出發(fā)的兩條運(yùn)動(dòng)軌道，最終必會(huì)以指數(shù)的形式互相分離。由于混沌對(duì)初值極為敏感，它表現(xiàn)為局部不穩(wěn)定。但對(duì)耗散系統(tǒng)而言，則又具有相體積收縮的特性，因而造成軌道無(wú)窮多次折迭往返。餃子軌道在相空間中"添滿"有限的區(qū)域，形成奇怪吸引子。實(shí)際上，它有內(nèi)外兩種趨向，一切吸引子之外的運(yùn)動(dòng)都向它靠攏，這是穩(wěn)定的方向；而一
切到達(dá)吸引子內(nèi)的軌道都又相互排斥（指數(shù)式分離），對(duì)應(yīng)為不穩(wěn)定方向。正是這種整體趨向穩(wěn)定而局部又極為不穩(wěn)定的矛盾，導(dǎo)致了奇怪吸引子的另一個(gè)更奇怪的性質(zhì)： （2）它具有非常奇特的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和幾何形式。奇怪吸引子是具有無(wú)窮多層次自相似結(jié)構(gòu)的、幾何維數(shù)為非整數(shù)的一個(gè)集合體。為了描述奇怪吸引子的這種奇特結(jié)構(gòu)，andelbrot率先引進(jìn)了分形（既其維數(shù)是非整數(shù)的對(duì)象）的概念。
作為相空間點(diǎn)集合的吸引子，其維數(shù)必定低于空間的維數(shù)。低維性是吸引子的重要特征之一，因?yàn)橄到y(tǒng)尋找目的態(tài)的過(guò)程必定是降維的過(guò)程。
當(dāng)相空間同時(shí)存在幾個(gè)吸引子時(shí)，整個(gè)相空間將以它們?yōu)橹行膭澐譃閹讉€(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域內(nèi)的軌道都以該吸引子為歸宿，稱為該吸引子的吸引域或流域。吸引子理論認(rèn)為，復(fù)雜系統(tǒng)在狀態(tài)空間中的行為軌線是由動(dòng)力方程來(lái)表示的。它的動(dòng)力學(xué)方程一般地是由一組“吸引子”所決定的。系統(tǒng)向哪個(gè)吸引子演化，取決于初態(tài)落在那個(gè)吸引域里，系統(tǒng)最終達(dá)到哪個(gè)吸引子是不確定的，一些微小的漲落都會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)走向某個(gè)吸引子而不走向另一個(gè)吸引子。
特點(diǎn)
吸引子是刻劃系統(tǒng)整體特性的概念，具有 不可分割性，即不能把它劃分為兩個(gè)都滿足定義要求的較小集合。也不能把幾個(gè)吸引子組合為一個(gè)吸引子，如平衡態(tài)A與周期態(tài)B不能合成一個(gè)單一的吸引子。
其他
在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論中，排斥子又稱為源，吸引子又稱為匯。一切有實(shí)際意義的軌道總是從源流向匯
。處于不穩(wěn)定定態(tài)的系統(tǒng)也“安于現(xiàn)狀”，自身沒(méi)有改變現(xiàn)狀的動(dòng)力。但它們對(duì)附近的軌道沒(méi)有吸
引力，反而有排斥力。一旦擾動(dòng)使系統(tǒng)離開(kāi)這種定態(tài)，排斥力將使任何軌道遠(yuǎn)離該定態(tài)而去。由此緣
故，不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)、極限環(huán)、環(huán)面被稱為排斥子。研究排斥子也是吸引子理論的重要內(nèi)容。
參考資料 >