谷山－志村定理，即Taniyama-Shimura定理，確立了橢圓曲線（代數幾何中的對象）和模形式（數論中某種周期性全純函數）之間的重要聯系。該定理的名字源自谷山－志村猜想，定理的證明是由安德魯·懷爾斯、ChristopheBreuil、BrianConrad、FredDiamond和理查·泰勒共同完成的。
谷山-志村猜想是由日本數學家谷山豐提出并由志村五郎完善的，該猜想指出有理數域上的橢圓曲線都是模曲線。這個猜想帶有悲傷色彩，因為谷山豐將模形式和橢圓曲線方程聯系起來的天才思想在當時沒有得到重視，他在31歲的黃金年齡自殺。受谷山豐影響深遠的志村五郎繼續了他的工作。當猜想最終被證明時，志村五郎平靜地表示這是對的。盡管只有本科學歷，志村五郎卻被譽為“20世紀數學界最重要的人物”。正是在一代代人的接力努力下，數學的大廈才變得金碧輝煌。
2019年5月3日，日本數學家志村五郎去世，享年89歲。志村五郎與谷山豐一起提出了“谷山-志村猜想”，該猜想是著名的費馬大定理的突破口。最終，通過證明谷山-志村猜想，沉睡3個多世紀的費馬大定理宣告破解。
基本介紹
若是一個質數而是一個Q（有理數域）上的一個橢圓曲線，我們可以簡化定義的方程模；除了有限個值，我們會得到有個元素的有限域F上的一個橢圓曲線。然后考慮如下序列
這是橢圓曲線的重要的不變量。從傅里葉變換，每個模形式也會產生一個數列。一個其序列和從模形式得到的序列相同的橢圓曲線叫做。谷山-志村定說:
"所有Q上的橢圓曲線是模的"。
該定理在1955年9月由谷山豐提出猜想。到1957年為止，他和志村五郎一起改進了嚴格性。谷山于1958年自殺身亡。在1960年代，它和統一數學中的猜想朗蘭茲綱領聯系了起來，并是關鍵的組成部分。猜想由安德烈·韋伊于1970年代重新提起并得到推廣，韋伊的名字有一段時間和它聯系在一起。盡管有明顯的用處，這個問題的深度在后來的發展之前并未被人們所感覺到。
在1980年代當Gerhard Frey建議谷山-志村猜想（那時還是猜想）應該蘊含費馬大定理的時候，它吸引到了不少注意力。他通過試圖表明費爾馬大定理的任何范例會導致一個非模的橢圓曲線來做到這一點。Ken Ribet后來證明了這一結果。在1995年，安德魯·懷爾斯和理查·泰勒證明了谷山-志村定理的一個特殊情況(半穩定橢圓曲線的情況)，這個特殊情況足以證明費爾馬大定理。
完整的證明最后于1999年由Breuil、Conrad、Diamond和Taylor作出，他們在懷爾斯的基礎上，一塊一塊的逐步證明剩下的情況直到全部完成。
數論中類似于皮耶·德·費瑪最后定理得幾個定理可以從谷山-志村定理得到。例如：沒有立方可以寫成兩個互質n次冪的和, 。（ 的情況已為長城歐拉所知）
在1996年三月，安德魯·懷爾斯和羅伯特·朗蘭茲分享了沃爾夫獎。雖然他們都沒有完成給予他們這個成就的定理的完整形式，他們還是被認為對最終完成的證明有著決定性影響。
參考資料 >
費馬大定理.ExiaHuang Blog.2024-03-18
解答數學“大問題”——證明費馬大定理的故事.中國科學院.2024-03-20
志村五郎:我早就說過它是對的.新浪網.2024-03-18
只有本科學歷的傳奇數學家去世了 ——他打開了通往費馬大定理的大門.數學長征.2024-03-18