超限數是大于所有有限數（但不必為絕對無限）的基數或序數，分別叫做超窮基數（英語：transfinite cardinal number）和超窮序數（英語：transfinite ordinal number）。術語“超限”（transfinite）是由格奧爾格·康托爾提出的，他希望避免詞語無限（infinite）的某些暗含，即那些只不過不是有限（finite）的對象。盡管當時其他作者對此有所疑惑，現在被接受的用法是稱超限基數或序數為無限的。但是術語“超限”仍在使用。
介紹
超限數是大于所有有限數的仍不必定絕對無限的基數或序數。術語超限(transfinite)是康托爾提出的，他希望避免詞語無限(infinite)的與只不過不是有限(finite)的那些對象有關的某些暗含。很少的當代作者共有這些疑惑；現在被接受的用法是稱超限基數或序數為無限的。但是術語超限仍在使用。對于有限數，有兩種方式考慮超限數，作為基數和作為序數。不象有限基數和序數，超限基數和超限序數定義了不同類別的數。最小超限序數是ω。第一個超限基數是aleph-0，整數的無限集合的勢。如果選擇公理成立，下一個更高的基數是 aleph-1。如果不成立，則有很多不可比較于 aleph-1 并大于 aleph-0 的其他基數。但是在任何情況下，沒有基數大于 aleph-0 并小于 aleph-1。
超窮序數可以確定超窮基數，并導出阿列夫數序列。連續統假設聲稱在aleph-0和連續統（實數的集合）的勢之間沒有中間基數：就是說，aleph-1是實數集合的勢。已經在數學上證實了連續統假設不能被證明為真或假，由于庫爾特·卡塞雷斯和沃爾特·科恩的不完備性定理的影響。
某些作者，比如Suppes、Rubin使用術語超限基數來稱呼戴德金無限集合的勢，在可以不等于無限基數的上下文中；就是說在不假定可數選擇公理成立的上下文中。給定這個定義，下列是等價的：
- {\displaystyle \mathbf{m} }是超限基數。就是說有一個戴德金無限集合A使得A的勢是{\displaystyle \mathbf{m} }。
- {\displaystyle \mathbf{m} +1=\mathbf{m} }。
- {\displaystyle \aleph _{0}\leq \mathbf{m} }。
- 有一個基數{\displaystyle \mathbf{n} }使得{\displaystyle \aleph _{0}+\mathbf{n} =\mathbf{m} }。
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