外爾群是代數(shù)群的某種子群的商群。指代數(shù)群G的極大環(huán)面T的正規(guī)化子NG(T)關(guān)于T的連通中心化子CG(T)0的商群W(G，T)。代數(shù)群G關(guān)于T的外爾群總是有限群，并同構(gòu)于G關(guān)于T的根系的外爾群。
概念
外爾群(Weyl group)是作用在根系上的一種變換群。設(shè)L為復(fù)半單李代數(shù)，h為L(zhǎng)的嘉當(dāng)子代數(shù)，Δ為根系，π為單根系。記Δ實(shí)線(xiàn)性生成h的對(duì)偶空間h之實(shí)線(xiàn)性子空間，中有反射：其中，(x，y)為L(zhǎng)之基靈型。于是生成之群稱(chēng)為L(zhǎng)的外爾群。它是有限群，且實(shí)際上由生成，其中為L(zhǎng)的單根系。
群
一種只有一個(gè)運(yùn)算的、比較簡(jiǎn)單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來(lái)建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。
設(shè)G為一個(gè)非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對(duì)G所定義的一種代數(shù)運(yùn)算“·”(稱(chēng)為“乘法”，運(yùn)算結(jié)果稱(chēng)為“乘積”)滿(mǎn)足：
(1)封閉性，;
(2)結(jié)合律，即;
(3)對(duì)G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得，則稱(chēng)G對(duì)于所定義的運(yùn)算“·”構(gòu)成一個(gè)群。例如，所有不等于零的實(shí)數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個(gè)群；時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個(gè)群。
滿(mǎn)足交換律的群，稱(chēng)為交換群。
群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對(duì)稱(chēng)，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來(lái)定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類(lèi)。可以說(shuō)，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。
1770年，約瑟夫·拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時(shí)，首先引入群的概念，而它的名稱(chēng)，是埃瓦里斯特·伽羅瓦在1830年首先提出的。
代數(shù)群
代數(shù)群是具有某種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的群。代數(shù)群理論是群論與代數(shù)幾何學(xué)結(jié)合的產(chǎn)物，可以看成李群理論的推廣或者同李群理論平行的一個(gè)群論分支。若G是代數(shù)閉域K上的代數(shù)簇，又具有群的結(jié)構(gòu)，且乘法運(yùn)算(這里的“×”表示簇的扎里斯基(Zariski，O.)積)與求逆運(yùn)算G→G都是簇的態(tài)射，則稱(chēng)G為代數(shù)群。若G作為簇是不可約的，則稱(chēng)此代數(shù)群是連通的。代數(shù)群的閉子簇若同時(shí)也是個(gè)子群，則稱(chēng)為閉子群，它仍是個(gè)代數(shù)群。代數(shù)群關(guān)于它的正規(guī)閉子群的商群也是個(gè)代數(shù)群。例如，K上n級(jí)一般線(xiàn)性群(K上n級(jí)非奇異矩陣全體所成的群)是代數(shù)群;K上n次特殊線(xiàn)性群(K上行列式1的n階矩陣全體所成的群)是的閉子群。若代數(shù)群G的簇結(jié)構(gòu)是仿射的，則稱(chēng)G為仿射代數(shù)群或線(xiàn)性代數(shù)群。采用后一術(shù)語(yǔ)的理由是，這種群都同構(gòu)于某個(gè)的閉子群。若G的簇結(jié)構(gòu)是完備的，則稱(chēng)G為阿貝爾簇。尼爾斯·阿貝爾簇的群結(jié)構(gòu)很簡(jiǎn)單(都是阿貝爾群)，且被簇結(jié)構(gòu)惟一決定，因此它的研究屬于代數(shù)幾何學(xué)的范疇。另一方面，對(duì)任意代數(shù)群G，總可以惟一地找到一個(gè)正規(guī)的仿射閉子群N，使G/N是尼爾斯·亨利克·阿貝爾簇。因此，代數(shù)群理論研究的主要是仿射的(即線(xiàn)性的)代數(shù)群，并把仿射代數(shù)群簡(jiǎn)稱(chēng)代數(shù)群。代數(shù)群及其表示理論與域論、多重線(xiàn)性代數(shù)、交換環(huán)論、代數(shù)幾何、李群、李代數(shù)、有限單群理論以及群表示理論等數(shù)學(xué)分支都有十分密切的聯(lián)系，是近年來(lái)代數(shù)學(xué)的一個(gè)相當(dāng)活躍的分支。
變換群
幾何學(xué)研究的重要對(duì)象。即由變換構(gòu)成的群。設(shè)G是集合S的一一變換所構(gòu)成的集合，若它滿(mǎn)足：
1.集合內(nèi)任二變換之積仍屬于這集合；
2.集合內(nèi)任一變換的逆變換仍屬于這集合，
則稱(chēng)G為S的一個(gè)變換群。例如，平面上正交變換的全體構(gòu)成的變換群稱(chēng)為正交群；平面上仿射變換的全體構(gòu)成的變換群稱(chēng)為仿射群。平面上射影變換的全體構(gòu)成的變換群稱(chēng)為射影群。在“埃爾朗根綱領(lǐng)”中，變換群可用來(lái)對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類(lèi)。
一組變換，對(duì)變換的乘積構(gòu)成的群。設(shè)G為M上的有限或無(wú)限個(gè)變換的集合，若滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件：①集合G中任意兩個(gè)變換的乘積仍屬于G;②集合G中每一個(gè)變換必有其逆變換，而且這個(gè)逆變換也屬于G，則稱(chēng)G為M上的一個(gè)變換群。
例如，平移變換可以構(gòu)成一個(gè)群：平面上任意兩個(gè)平移變換的積仍是平移變換；每個(gè)平移變換都有逆變換，這個(gè)逆變換就是按原變換相反方向的變換，所以仍是平移變換。
用變換群來(lái)研究對(duì)應(yīng)的幾何學(xué)的觀點(diǎn)，是由德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊茵首先提出來(lái)的。1872年，克萊茵在埃爾朗根大學(xué)的教授就職演講中，提出題為《關(guān)于近代幾何研究的比較》的論文，論述了變換群在幾何中的主導(dǎo)作用。他把到當(dāng)時(shí)為止已發(fā)現(xiàn)的所有的幾何，統(tǒng)一在變換群的觀點(diǎn)之下，明確地給出了幾何的一種新定義，即把幾何定義為在某個(gè)變換群之下研究圖形不變性質(zhì)與不變量的一門(mén)科學(xué)。這種觀點(diǎn)突出了變換群在研討幾何中的地位，為用近代數(shù)學(xué)方法研究幾何學(xué)開(kāi)辟了道路，因此后來(lái)把它簡(jiǎn)稱(chēng)為《埃爾朗根綱領(lǐng)》。
按照變換群的觀點(diǎn)，幾何學(xué)可以這樣分類(lèi)：研究射影變換群、仿射變換群、相似變換群、正交變換群下不變性質(zhì)和不變量的幾何學(xué)分別是射影幾何學(xué)、仿射幾何學(xué)、拋物幾何學(xué)、歐氏幾何學(xué)。正交變換群也稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)群，歐氏幾何學(xué)的主要內(nèi)容就是研究運(yùn)動(dòng)群下不變性質(zhì)和不變量的幾何學(xué)。近代發(fā)展很快、應(yīng)用越來(lái)越廣的一門(mén)學(xué)科——拓?fù)鋵W(xué)，就是研究拓?fù)渥儞Q下不變性質(zhì)和不變量的幾何學(xué)。
半單李代數(shù)
半單李代數(shù)是一類(lèi)重要的李代數(shù)。設(shè)L為域F上的李代數(shù)，R為L(zhǎng)的根基。若，則L稱(chēng)為半單李代數(shù)。在L是復(fù)李代數(shù)時(shí)，若L為有限維李代數(shù)，則在L中必存在半單子代數(shù)C，使得為空間直和，其中R為L(zhǎng)的根基，這個(gè)分解稱(chēng)為列維分解，它不惟一。列維分解指出，要弄清楚一般李代數(shù)的結(jié)構(gòu)，必須弄清楚可解李代數(shù)和半單李代數(shù)的結(jié)構(gòu)。關(guān)于可解李代數(shù)，知道得甚少，但是復(fù)半單李代數(shù)的結(jié)構(gòu)是非常清楚的。
嘉當(dāng)李代數(shù)
研究李代數(shù)分解時(shí)常用的一類(lèi)子代數(shù)。設(shè)L為域F上的李代數(shù)，若L的子代數(shù)h是極大冪零子代數(shù)，且它的正規(guī)化子等于h自身，則稱(chēng)它為L(zhǎng)的嘉當(dāng)子代數(shù)。當(dāng)L為有限維復(fù)李代數(shù)時(shí)，嘉當(dāng)子代數(shù)必存在，且對(duì)任意兩個(gè)嘉當(dāng)子代數(shù)h和h，必存在L的內(nèi)自同構(gòu)σ，使得，即h和h是共軛的。在實(shí)的情形下，這個(gè)性質(zhì)不成立。當(dāng)L為有限維實(shí)或復(fù)半單李代數(shù)時(shí)，嘉當(dāng)子代數(shù)必為極大交換子代數(shù)。
參考資料 >