在數(shù)學(xué)中，逐點收斂（或稱簡單收斂、點態(tài)收斂，英語：pointwise convergence）描述的是一列函數(shù)向一個特定函數(shù)趨近的現(xiàn)象中的一種。簡單來說，就是對定義域里的每一點，這個函數(shù)列在這點上的取值都趨于一個極限值。這時，被趨近的這個特定函數(shù)稱作函數(shù)列的逐點極限。在各種收斂中，逐點收斂最為直觀，容易想象，但不能很好地保持函數(shù)的一些重要性質(zhì)，比如說連續(xù)性等等。
定義
設(shè) 是一列擁有同樣定義域的函數(shù)。逐點收斂當(dāng)且僅當(dāng)存在函數(shù)，使得對定義域中的每個，都有：
這時我們就說 逐點收斂到。
性質(zhì)
與逐點收斂經(jīng)常一起出現(xiàn)的一個概念是一致收斂。后者的定義如下：
一致收斂到 當(dāng)且僅當(dāng)在定義域 中
相比較下，一致收斂是一個更“強”的概念。一致收斂的函數(shù)列必然逐點收斂，反之則不盡然。一個簡單的例子是開區(qū)間 上的函數(shù)列，逐點收斂到函數(shù)，但并不一致收斂到0，因為
一致收斂能夠保持函數(shù)列的連續(xù)性，但逐點收斂不能。例如，上述函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，但是 逐點收斂到的函數(shù)，在 上取值為0，在1上取值為1，不是連續(xù)函數(shù)。
中函數(shù)的取值可以是實數(shù)，也可以是任何使得其定義有意義的拓?fù)淇臻g。一致收斂函數(shù)的適用范圍則相對較小，只能在一個度量空間中定義，因為定義中使用到了距離的概念。
拓?fù)湫再|(zhì)
逐點收斂也可以理解為由半范數(shù) 建立的拓?fù)洹＞哂羞@種拓?fù)涞暮瘮?shù)組成的空間叫做逐點收斂空間。這個拓?fù)渑c乘積拓?fù)涫堑葍r的。如果 的定義域和值域都是緊致的，根據(jù)吉洪諾夫定理，這個空間也是緊致的。
測度論
在測度理論中，對一個可測空間上的可測函數(shù)有幾乎處處收斂的概念，也就是說幾乎處處逐點收斂。葉戈羅夫定理說明，在有限測度的集合上幾乎處處逐點收斂，意味著在稍微較小的集合上一致收斂。
參考資料 >