可測(cè)函數(shù)（英語(yǔ)：measurable 函數(shù)）是保持可測(cè)空間結(jié)構(gòu)的函數(shù)，也是勒貝格積分中主要討論的函數(shù)。數(shù)學(xué)分析中所研究的不可測(cè)函數(shù)一般視為病態(tài)的。在概率論中，隨機(jī)變量就是實(shí)可測(cè)函數(shù)的一個(gè)例子。
名詞解釋
設(shè)是定義在可測(cè)集E上的實(shí)函數(shù)。如果對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)，集恒可測(cè)（亨利·勒貝格可測(cè)），則稱是定義在 E上的（勒貝格）可測(cè)函數(shù)
定理 設(shè)是定義在可測(cè)集E上的實(shí)函數(shù)，下列任一個(gè)條件都是在Ｅ上（勒貝格）
可測(cè)的充要條件：
（1）對(duì)任何有限實(shí)數(shù)a，都可測(cè)；
（2）對(duì)任何有限實(shí)數(shù)a，都可測(cè)；
（3）對(duì)任何有限實(shí)數(shù)a，都可測(cè)；
（4）對(duì)任何有限實(shí)數(shù)a,b，都可測(cè)
正式定義
可測(cè)函數(shù)的定義 — 設(shè) \( (X,\Sigma_{X}) \) 與 \( (Y,\Sigma_{Y}) \) 為可測(cè)空間。那么函數(shù) \( f:X\to Y \) 對(duì)任意 \( B\in \Sigma_{Y} \) 若滿足：
\( f^{-1}(B)\in \sigma_{X} \)
則稱 \( f \) 為一個(gè) \( \Sigma_{X} \)-\( \Sigma_{Y} \) 可測(cè)函數(shù)。
重要范例
實(shí)可測(cè)函數(shù)
取本節(jié)定義中的 \( Y \) 為實(shí)數(shù)系 \( \mathbb{R} \)，然后取：
\( {\mathcal{I}}=\{A\in {\mathcal{P}}(\mathbb{R}) | (\exists a)(\exists b)[(a,b\in \mathbb{R}) \wedge (A=(a,b))]\} \)
\( {\mathcal{B}}_{\mathbb{R}}:=\sigma({\mathcal{I}})=\bigcap \{\Sigma | (\Sigma \文本{ is a sigma algebra.}) \wedge ({\mathcal{I}}\subseteq \Sigma)\} \)
換句話說(shuō)，\( {\mathcal{B}}_{\mathbb{R}} \) 是由實(shí)數(shù)開區(qū)間所生成的博雷爾代數(shù)（注意到 \( {\mathcal{I}} \) 本身是個(gè)拓?fù)浠敲催@樣的 \( \Sigma_{X} \)-\( {\mathcal{B}}_{\mathbb{R}} \) 可測(cè)函數(shù) \( f \)，通常會(huì)簡(jiǎn)稱為 \( \Sigma_{X} \)-實(shí)可測(cè)函數(shù)；甚至簡(jiǎn)稱為實(shí)可測(cè)函數(shù)。
博雷爾函數(shù)
如果 \( (X,\tau_{X}) \) 與 \( (Y,\tau_{Y}) \) 正好也是拓?fù)淇臻g，這時(shí)取以下兩個(gè)最小σ-代數(shù)：
\( \sigma(\tau_{X})=\bigcap \{\Sigma | (\Sigma \文本{ is a sigma algebra.}) \wedge (\tau_{X}\subseteq \Sigma)\} \)
\( \sigma(\tau_{Y})=\bigcap \{\Sigma | (\Sigma \text{ is a sigma algebra.}) \wedge (\tau_{Y}\subseteq \Sigma)\} \)
換句話說(shuō)，\( \sigma(\tau_{X}) \) 是由 \( X \) 上開集所生成的埃米爾·博雷爾代數(shù)；\( \sigma(\tau_{Y}) \) 是由 \( Y \) 上開集所生成的博雷爾代數(shù)，那這樣 \( \sigma(\tau_{X}) \)-\( \sigma(\tau_{X}) \) 可測(cè)函數(shù) \( f \) 又稱為 \( \tau_{X} \)-\( \tau_{Y} \) 博雷爾函數(shù)（Borel 函數(shù)）。
勒貝格可測(cè)函數(shù)
勒貝格可測(cè)函數(shù)是一個(gè)實(shí)函數(shù)\( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)，使得對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)\( a \)，集合
\( \{x\in \mathbb{R} :f(x)>a\} \)
都是勒貝格可測(cè)的集合。勒貝格可測(cè)函數(shù)的一個(gè)有用的特征，是\( f \)是可測(cè)的當(dāng)且僅當(dāng)\( \min\{-g,f,g\} \)對(duì)于所有非負(fù)的勒貝格可積函數(shù)\( g \)都是可積的。
不可測(cè)函數(shù)
不是所有的函數(shù)都是可測(cè)的。例如，如果\( A \)是實(shí)數(shù)軸\( \mathbb{R} \)的一個(gè)不可測(cè)子集，那么它的指示函數(shù)\( 1_{A}(x) \)是不可測(cè)的。
參考資料 >