離散傅里葉變換(discrete Fourier transform) 傅里葉分析方法是信號分析的最基本方法，傅里葉變換是傅里葉分析的核心，通過它把信號從時間域變換到頻率域，進而研究信號的頻譜結構和變化規律。
基本定義
離散傅里葉變換（DFT），是傅里葉變換在時域和頻域上都呈現離散的形式，將時域信號的采樣變換為在離散時間傅里葉變換（DTFT）頻域的采樣。在形式上，變換兩端（時域和頻域上）的序列是有限長的，而實際上這兩組序列都應當被認為是離散周期信號的主值序列。即使對有限長的離散信號作DFT，也應當將其看作經過周期延拓成為周期信號再作變換。在實際應用中通常采用快速傅里葉變換以高效計算DFT。
物理意義
（1）物理意義
設x(n)是長度為N的有限長序列，則其傅里葉變換，Z變換與離散傅里葉變換分別用以下三個關系式表示
X(e^jω)= ∑n={0,N-1}x(n) e^j-ωn
X(z)= ∑n={0,N-1}x(n)z^-n
X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2πkn/N
單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換
離散傅里葉變換是x(n)的頻譜X(ejω)在[0,2π]上的N點等間隔采樣，也就是對序列頻譜的離散化，這就是DFT的物理意義.
主要性質
1.線性性質
如果X1（n）和X2(N)是兩個有限長序列，長度分別為N1和N2，且Y(N)=AX1(N)+BX2(N)
式中A,B為常數，取N=max[N1,N2]，則Y(N）地N點DFT為
Y(K)=DFT[Y(N)]=AX1(K)+BX2(K), 0≤K≤N-1;
2.循環移位特性
設X(N)為有限長序列，長度為N，則X(N)地循環移位定義為
Y(N)=X((N+M))下標nR（N）
式中表明將X(N）以N為周期進行周期拓延得到新序列X'(N)=X((N))下標n，再將X'(N）左移M位，最后取主值序列得到循環移位序列Y(N)
隱含的周期性
DFT的一個重要特點就是隱含的周期性，從表面上看，離散傅里葉變換在時域和頻域都是非周期的，有限長的序列，但實質上DFT是從DFS引申出來的，它們的本質是一致的，因此DTS的周期性決定DFT具有隱含的周期性。可以從以下三個不同的角度去理解這種隱含的周期性
(1)從序列DFT與序列FT之間的關系考慮X(k)是對頻譜X(ejω)在[0,2π]上的N點等間隔采樣，當不限定k的取值范圍在[0,N-1]時，那么k的取值就在[0,2π]以外，從而形成了對頻譜X(ejω)的等間隔采樣。由于X(ejω)是周期的，這種采樣就必然形成一個周期序列
(2)從DFT與DFS之間的關系考慮。X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) WNexp^nk，當不限定N時，具有周期性
(3)從WN來考慮，當不限定N時，具有周期性
分析方法
在工程實際中經常遇到的模擬信號xn(t),其頻譜函數Xn(jΩ)也是連續函數，為了利用DFT對xn(t)進行譜分析，對xn(t)進行時域采樣得到x(n)= xn(nT),再對x(n)進行DFT，得到X(k)則是x(n)的傅里葉變換X(ejω)在頻率區間[0,2π]上的N點等間隔采樣，這里x(n)和X(k)都是有限長序列
然而，傅里葉變換理論證明，時間有限長的信號其頻譜是無限寬的，反之，弱信號的頻譜有限款的則其持續時間將為無限長，因此，按采樣定理采樣時，采樣序列應為無限長，這不滿足DFT的條件。實際中，對于頻譜很寬的信號，為防止時域采樣后產生‘頻譜混疊’，一般用前置濾波器濾除幅度較小的高頻成分，使信號的帶寬小于折疊頻率；同樣對于持續時間很長的信號，采樣點數太多也會導致存儲和計算困難，一般也是截取有限點進行計算。上述可以看出，用DFT對模擬信號進行譜分析，只能是近似的，其近似程度取決于信號帶寬、采樣頻率和截取長度
模擬信號xn(t)的傅里葉變換對為
X(jΩ)={-∞,+∞}x(t)*exp^-jΩt dt
x（t）=1/2π{-∞,+∞} X(JΩ)*e^jΩt dt
用DFT方法計算這對變換對的方法如下：
（a）對xn(t)以T為間隔進行采樣，即xn(t)|t=nT= xa(nT)= x(n),由于
t→nT,dt→T, {-∞,+∞}→∑n={-∞,+∞}
因此得到
X(jΩ)≈∑n={-∞,+∞}x(nT)*exp^-jΩnT*T
x（nT）≈1/2π{0, Ωs} X(JΩ)*e^jΩnT Dω
（b）將序列x(n)= xn(t)截斷成包含有N個抽樣點的有限長序列
X(jΩ)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jΩnT*T
由于時域抽樣，抽樣頻率為fs=1/T,則頻域產生以fs為周期的周期延拓，如果頻域是帶限信號，則有可能不產生頻譜混疊，成為連續周期頻譜序列，頻譜的周期為fs=1/T
（c）為了數值計算，頻域上也要抽樣，即在頻域的一個周期中取N個樣點，fs=NF0,每個樣點間隔為F0，頻域抽樣使頻域的積分式變成求和式，而在時域就得到原來已經截斷的離散時間序列的周期延拓，時間周期為T0=1/F0。因此有
Ω→kΩ0，dΩ→Ω0，{-∞,+∞} dΩ→∑n={-∞,+∞}Ω0
T0=1/F0=N/fs=NT
Ω0=2ΠF0
Ω0T=Ω0/fs=2π/N
X(jkΩ0)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jkΩ0nT
判斷方法
判斷系統是否為最小相位系統的簡單方法是：如果兩個系統的傳遞函數分子和分母的最高次數都分別是m，n，則頻率ω趨于無窮時，兩個系統的對數幅頻曲線斜率均為－20（n－m）dB/dec但對數相頻曲線卻不同：最小相位系統趨于－90°（n－m），而非最小相位系統卻不這樣。
注意事項
根據采樣定理，只有當采樣頻率大于信號最高頻率的兩倍時，才能避免頻域混疊。實際信號的持續時間是有限的，因而從理論上來說，其頻譜寬度是無限的，無論多 大的采樣頻率也不能滿足采樣定理。但是超過一定范圍的高頻分量對信號已沒有多大的影響，因而在工程上總是對信號先進性低通濾波
另一方面，DFT得到的頻率函數也是離散的，其頻域抽樣間隔為F0，即頻率分辨力。為了對全部信號進行采樣，必須是抽樣點數N滿足條件
N=T0/T=fs/F0
從以上兩個公式來看，信號最高頻率分量fc和頻率分辨力F0有矛盾。若要fc增加，則抽樣間隔T就要減小，而FS就要增加，若在抽樣點數N不變的情況下，必然是F0增加，分辨力下降。唯一有效的方法是增加記錄長度內的點數N，在fc和F0給定的條件下，N必須滿足
N>2fc/F0
（2）截斷效應
在實際中遇到的序列x(n)，其長度往往是有限長，甚至是無限長，用DFT對其進行譜分析時，必須將其截斷為長度為N的有限長序列
Y(n)=x(n).R(n)
根據頻率卷積定理
Y(e)=1/2Πx(e)*H(e)
|ω|<2π/N叫做主瓣，其余部分叫做旁瓣
（3）頻譜泄露
原序列x(n)的頻譜是離散譜線，經截斷后使每根譜線都帶上一個辛格譜，就好像使譜線向兩邊延申，通常將這種是遇上的截斷導致頻譜展寬成為泄露，泄露使得頻譜變得模糊，分辨率降低
（4）譜間干擾
因截斷使主譜線兩邊形成許多旁瓣，引起不同分量間的干擾，成為譜間干擾，這不僅影響頻譜分辨率，嚴重時強信號的旁瓣可能湮滅弱信號的主譜線。
截斷效應是無法完全消除的，只能根據要求折中選擇有關參量。
（5）柵欄效應
N點DFT是在頻率區間[0,2π]上對信號的頻譜進行N點等間隔采樣，得到的是若干個離散點X(k)，且它們之限制為基頻F0的整數倍，這部好像在柵欄的一邊通過縫隙看另一邊的景象，只能在離散點的地方看到真實的景象，其余部分頻譜成分被遮攔，所以稱為柵欄效應。
減小柵欄效應，可以在時域數據末端增加一些零值點，是一個周期內的點數增加
（6）信號長度的選擇
在時域內對信號長度的選擇會影響DFT運算的正確性。實際的信號往往是隨機的，沒有確定的周期，因此在實際中，應經可能估計出幾個典型的、帶有一定周期性的信號區域進行頻譜分析，然后在取其平均值，從而得到合理的結果。
C語言實現代碼
int DFT(int dir,int m,double *x1,double *y1)
{
龍姓 i,k;
double arg;
double cosarg,sinarg;
double *x2=NULL,*y2=NULL;
x2=malloc(m*sizeof(double));
y2=malloc(m*sizeof(double));
if(x2==NULL||y2==NULL)回車鍵(FALSE);
for(i=0;i { x2[i]=0; y2[i]=0; arg=-dir*2.0*3.141592654*(double)i/(double)m; for(k=0;k { cosarg=cos(k*arg); sinarg=sin(k*arg); x2[i]+=(x1[k]*cosarg-y1[k]*sinarg); y2[i]+=(x1[k]*sinarg+y1[k]*cosarg); } } /*Copythedataback*/ if(dir==1) { for(i=0;i { x1[i]=x2[i]/(double)m; y1[i]=y2[i]/(double)m; } } else { for(i=0;i { x1[i]=x2[i]; y1[i]=y2[i]; } } free(x2); free(y2); 回車鍵(TRUE); } 對于N點序列 {x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的離散傅里葉變換（DFT）為 其中e 是自然對數的底數，i 是虛數單位。通常以符號F表示這一變換，即 離散傅里葉變換的逆變換（IDFT）為： 可以記為： 實際上，DFT和IDFT變換式中和式前面乘上的歸一化系數并不重要。在上面的定義中，DFT和IDFT前的系數分別為1 和1/N。有時會將這兩個系數都改成 ，這樣就有，即DFT成為酉變換。 由于周期為N的離散信號構成N維歐幾里得空間，定義其上任意兩向量x,y內積為： 那么我們有對于 上的一組正交基： 將向量x在此基上進行分解，可以得到： 令，此即為離散傅里葉變換。又，我們有： 此即為離散傅里葉變換的逆變換。 事實上由點積的性質我們有： 特別的令x=y，我們有： 對于任意N維向量，我們定義 為 中各項向前循環移 位。那么對于N維任意向量 我們定義其圓周卷積為如下向量： 我們容易知道，即圓周卷積可交換。同樣圓周卷積可結合即，證明如下： 易知： ，所以此數列第 項為： 同理可證，的第 項為： 顯然： 因此，我們有。事實上，對于任意N維向量x，我們有： 因此： 由圓周卷積的結合性我們有： 即有： 因此離散傅里葉變換可將圓周卷積變為乘積運算。 連續時間信號x(t) 以及它的連續傅里葉變換（CT）? x ( ω) 都是連續的。由于數字電路只能處理有限長的、離散的信號，因此必須將x 和? x 數字系統只能處理有限長的信號，為此假設x(t)時限于[0, L]，再通過時域采樣將x(t)離散化，就可以得到有限長的離散信號。設采樣周期為T，則時域采樣點數N=L/T。 x discrete (t) = x (t) N - 1 Σ n = 0 δ(三硝基甲苯) = N - 1 Σ n = 0 x (nT) δ(t-nT) 它的傅里葉變換為 ? x discrete ( ω) = N - 1 Σ n = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1 –– T N - 1 Σ n = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T 這就是x(t)時域采樣的連續傅里葉變換，也就是離散時間傅里葉變換，它在頻域依然是連續的。 類似的，頻域信號也應當在帶限、離散化之后才能由數字電路處理。依據采樣定理，時域采樣若要能完全重建原信號，頻域信號? x ( ω) 應當帶限于(0,1/T)。由于時域信號時限于[0, L]，由采樣定理以及時頻對偶的關系，頻域的采樣間隔應為1/L。故，頻域采樣點數為 1/T ––––– 1/L = N 即頻域采樣的點數和時域采樣同為N，頻域采樣點為 { ω k = k/NT} 0 ≤ k < N 在DTFT頻域上采樣： ? x [k ] = ? x discrete ( ω k ) = 1 –– T N - 1 Σ n = 0 f[n ]e - i 2 π – – – – – N n k 令T=1，將其歸一化，就得到前面定義的離散傅里葉變換。因此，DFT就是先將信號在時域離散化，求其連續傅里葉變換后，再在頻域離散化的結果。 下面考察離散傅里葉變換與連續傅里葉變換的關系。 Fx ( ω) = ? x ( ω) = 1 –– L ∫ L 0 x (t)e - i ω t dt 其采樣為 ? x ( ω k ) = 1 –– L ∫ L 0 x (t)e - i ω k t dt 將這個積分以伯恩哈德·黎曼和的形式近似，有 ? x ( ω k ) ≈ 1 –– L N - 1 Σ n = 0 x[n ] e - i ω k n T T = 1 –– N ? x [k ] 參見離散時間傅里葉變換 離散時間傅里葉變換（DTFT）是在時域上對連續傅里葉變換的采樣。DFT則是在頻域上對DTFT的均勻采樣。離散信號x[n ]（n=0,...,N-1）的DTFT為： ? x (e i ω ) = N - 1 Σ n = 0 x[n ] e - i n ω 對? x (e i ω ) 在離散的頻點{ ω k = k 2 π ––––– N } 0 ≤ k < N 上采樣 ? x [k ] = ? x (e i ω k ) = N - 1 Σ n = 0 x[n ]e - i 2 π – – – – – N k n k = 0, …,N-1 即為x 的DFT。由于DTFT在頻域是周期的，所以在DTFT頻域上的均勻采樣也應是周期的。? x [k ] 實際上是這個周期序列的主值序列。 N 點序列的DFT只能在有限的N個頻點上觀察頻譜，這相當于從柵欄的縫隙中觀察景色，對于了解信號在整個頻域上的特性是不夠的。為了觀察到其他頻率的信息，需要對原信號x[n]做一些處理，以便在不同的頻點上采樣。 將原來在DTFT頻域上的采樣點數增加到M 點，這樣采樣點位置變為{ ω ' k = e i k 2 π – – – – – M } 0 ≤ k < M 。則對應的DFT成為 ? x '[k ] = ? x (e ik ω ' k ) = N - 1 Σ n = 0 x[n ]e - i 2 π – – – – – M k n 若在序列x[n] 之后補上M-N個零，設為x'[n]，則上式變為 ? x '[k ] = M - 1 Σ n = 0 x '[n ]e - i 2 π – – – – – M k n = Fx ' 因此將x[n]補零再做DFT就可以得到x[n]的DTFT在其他頻率上的值，相當于移動了柵欄，因而能夠從其他位置進行觀察。 N 點DFT的頻譜分辨率是2 π/N。一節指出可以通過補零觀察到更多的頻點，但是這并不意味著補零能夠提高真正的頻譜分辨率。這是因為x[n] 實際上是x(t) 采樣的主值序列，而將x[n]補零得到的x'[n]周期延拓之后與原來的序列并不相同，也不是x(t) 的采樣。因此? x ' 與? x 是不同離散信號的頻譜。對于補零至M點的x'的DFT，只能說它的分辨率2 π/M僅具有計算上的意義，? x ' 并不是真正的、物理意義上的頻譜。頻譜分辨率的提高只能通過提高采樣頻率實現。 參考資料 > 離散傅里葉變換.blog.csdn.net.2016-10-14對換實例
變換對
幾何觀點
圓周卷積
從連續到離散
DFT與CT
DFT與DTFT
柵欄效應
頻譜分辨率
計算機代碼