除環（division ring），亦稱體（sfield）或斜域（skew field），接近于域的一類條件很強的環。設是一個有單位元的環。若中至少含有一個非零元，且每個非零元都是可逆元，則稱為除環。
環論起源于19世紀關于實數域和超復數系的研究，以及德國數學家、理論家戴德金（Dedekind,J.W.R.）、英國數學家哈密頓（Hamilton,W.R.）等學者對超復數系的建立和研究。19世紀中后期，德國數學家費羅貝尼烏斯（Frobenius）提出了費羅貝尼烏斯定理，對實數上的有限維除代數進行分類。不久后，數學家摩爾（E. H. Moore）完成了對有限域的分類。大約1905年，數學家韋德伯恩（J. H. M. Wedderburn）提出Wedderburn定理，即所有有限除環都是可交換的。20世紀20-30年代，德國數學家艾米·諾特（Noether,E.）建立了環的理想理論。到了20世紀50年代中期，數學家阿密蘇（Amitsur,S.A.）和庫洛什（Kurosh,A.）創立了根的一般理論，使環論逐漸趨于完善。
除環中具有一些性質，如，一個除環沒有零因子等。與除環相關的定理包括著名的嘉當-布饒爾-華羅庚定理（Cartan-Brauer- Huatheorem）等。與除環相關的概念有域、整環以及理想子環等。克利福德（Cliford）代數，一種交換環上的有限維結合代數，可以看作是復數域和Hamilton四元數除環的推廣。除此之外，除環上的矩陣分解是應用數學中矩陣論和除環理論中的一個很重要的內容。
簡史
環論的起源可以追溯到19世紀關于實數域的擴張與分類，以及德國數學家、理論家戴德金（Dedekind,J.W.R.）、英國數學家哈密頓（Hamilton,W.R.）等學者對超復數系的建立和研究。19世紀中后期，德國數學家費羅貝尼烏斯（Frobenius）提出了費羅貝尼烏斯定理，對實數上的有限維除代數進行分類。不久后，數學家摩爾（E. H. Moore）完成了對有限域的分類。大約1905年，數學家韋德伯恩（J. H. M. Wedderburn）提出Wedderburn定理，即所有有限除環都是可交換的。20世紀20-30年代，德國數學家艾米·諾特 （Noether,E.）建立了環的理想理論。到了20世紀50年代中期，數學家阿密蘇（Amitsur,S.A.）和庫洛什（Kurosh,A.）創立了根的一般理論，使環論逐漸趨于完善。
定義
環
在非空集合中定義加法“”和乘法“”運算，使得中任意元，，適合條件：
（左分配律），
（右分配律）；
則稱為結合環，簡稱環（通常寫為），是環論研究的主要對象。
除環
除環（division ring），是接近于域的一類條件很強的環。設是一個有單位元的環，若中至少含有一個非零元，且每個非零元都是可逆元，則稱為除環。交換的除環稱為域，非交換的除環有時亦稱為斜域或體。除環是由加群與乘群湊合而成的。
概念
零因子
零因子（zero divisor），亦稱零除元，環的一種特殊的非零元。環中一個元，若有使得或，稱是環的零因子。在非交換環中有左、右零因子之分，如上時，稱左零因子；時，稱右零因子。若環有零因子，則消去律不成立。與零因子意義完全相反的元，即不是零因子的非零元，稱為正則元。
單位元
環的單位元（identity element or unit element of ring），乘法半群的左（右）單位元，稱為環的左（右）單位元。乘法半群的單位元稱為環的單位元。
單位群
環的單位群（unit group of a ring），環中可逆元構成的群。環有單位元，是中非零元，若存在中元有（或），則稱是的一個右逆元（或左逆元）。若，則稱為的逆元，記為。環中有逆元的元，稱為可逆元，也稱為環的單位。環中一切單位的集合，對的乘法構成一個群，稱為的單位群，常用表示。若中至少含有一個非零元，且每個非零元都是可逆元，則稱為除環。
性質
相關定理
嘉當-布饒爾-華羅庚定理
嘉當-布饒爾-華羅庚定理（Cartan-Brauer- Huatheorem），是關于除環的一個著名定理。該定理斷言：除環在它的所有內自同構下不變的子除環僅有本身和的中心。埃里·嘉當（Cartan,H.）于1947年用伽羅瓦群證明有限情況；理查德·布饒爾（Brauer,R. (D. )）于1949年證明此定理；同年，華羅庚獨立地給出了另一證明。當的特征時，這一定理對求導也成立。
Wedderburn定理
任何有限域都是交換的。假定是環，是它的根基。如果是可離代數，可以把寫成兩個子代數的和，但這和只能是向量空間的直和，不是環的直和。假定是可換體的有窮維代數，是它的根基，是可離代數，那末有子代數存在使得，并且看成向量空間時是與的直和，即。
費羅貝尼烏斯定理
費羅貝尼烏斯定理，是上僅有的有限維可除的結合代數，其作為上的線性空間，維數分別為1，2，4。
進一步，又有：推廣的費羅貝尼烏斯定理，是實數域上僅有的有限維可除交錯（非結合）代數，其維數分別為1，2，4，8。這里，非結合交錯代數的意義是指在整體上不滿足通常的結合律，但在局部上可能是滿足通常的結合律的。例如，八元數代數是非結合的，但是它的子代數系中乘法都是適合結合律的。費羅貝尼烏斯定理及推廣的費羅貝尼烏斯定理表明，在放棄了乘法交換律和結合律之后，實數域上的（有限維）代數仍然是有限的。在同構意義之下，它們只能是實數域，復數域，四元數系和八元數系。也就是說，從考慮實數域上的代數的角度，“數系”擴充到八元數，又是一個結束。
相關概念
整環
沒有零因子的非零環稱為整區（integral domain）。環是整區當且僅當且消去律成立。交換整區稱為整環，它是交換代數研究的重要對象。
域
域（field），代數學的基本概念之一，即具有兩個運算的代數系。設是至少含兩個元的集合，在中定義了兩個二元運算：一個稱加法，使成為加群，它的單位元稱為的零元；一個稱乘法，使的非零元構成一個交換群，加法與乘法滿足分配律，此時稱為域。例如，全體有理數、全體實數和全體復數在通常的加法與乘法下都構成域，分別稱為有理數域、實數域和復數域。域是許多數學分支研究的基礎，尤其對代數、代數數論、代數幾何等更為重要。一個交換除環就是一個域。
理想子環
環的一個非空子集，叫做一個理想子環，簡稱理想。一個環至少有兩個理想：只包含零元的集合，這個理想叫做的零想；自己，這個理想叫做的單位理想。一個除環只有兩個理想，就是零理想和單位理想。
推廣
英國的幾何代數學家克利福德（Willian Kingdon Cliford）建立了克利福德（Cliford）代數，他提出了一種新的乘法運算符號，即幾何積，幾何積將Hamilton的四元數和Grassmann的擴張代數（外代數）結合，能夠進行高維的幾何計算和分析。克利福德代數將矢量、四元數、張量等都統一到同一個代數框架內，不僅保留矩陣代數、向量代數和四元數代數的優點，是一個結合的非交換代數，而且還更具有概括性。Clifford代數對于幾何體幾何關系和幾何變具有不依賴于坐標的、通用和易于計算的符號表示。這是一種交換環上的有限維結合代數，可以看作是復數域和Hamilton四元數除環的推廣。
應用
除環上的矩陣分解是矩陣論和除環理論中的一個很重要的內容，很多研究者對除環上的矩陣理論做出了突出的貢獻。教授王卿文和荷蘭代爾夫特理工大學教授vanderWoude等研究了除環上具有相同行數的3個矩陣的等價標準型定理。更進一步的，王卿文和vanderWoude研究了除環上4個矩陣的等價標準型。
其中矩陣，，，為除環上給定的矩陣，且維數分別為，，，。
參考資料 >