正一百二十胞體，由120個正十二面體胞、720個正五邊形面、1200條棱、600個頂點組成，是四維凸正多胞體，正十二面體的四維類比。它的施萊夫利符號為{5,3,3}，與正六百胞體對偶。每個頂點由4個正十二面體、6個正五邊形、4條棱相接，每條棱由3個正十二面體和3個正五邊形相接。正一百二十胞體的頂點圖是正四面體。
性質
正一百二十胞體的頂點圖是正四面體，棱圖是等邊三角形。若其棱長為a，則其超體積為{\displaystyle {\cfrac {15(105+47{\sqrt {5}})a^{4}}{4}}}，表體積是(450+210√5)a^3。其二胞角是144°，這意味著它不能獨自完成四維三維空間的堆砌，但戴維斯首先描述了四維雙曲空間的一種正一百二十胞體堆砌，這種存在于緊湊雙曲流形的堆砌有施萊夫利符號{5,3,3,5}。
三維投影
施萊格爾投影
一個有120個正十二面體的多胞體自然不會像正五胞體那樣簡單，如下圖：
球極投影
將正一百二十胞體的表面膨脹使之成為一個超球，然后投影到三維上，如圖。
二維線架正投影
需要說的是，圖里橙色的點都是有兩個點重疊的。
二胞角
二胞角的求導是要用到四維解析幾何慢慢求的，這里不多說了，是144°。空間想象能力強的會發現可以從中選出10個正十二面體，環繞成一圈，每一個正十二面體與其相鄰兩正十二面體公共的兩正五邊形所在平面平行，故二胞角補角為360°除以10，即36°，所以二胞角是144°。
正六百胞體
將正一百二十胞體中每個正十二面體中心作中心所在正十二面體的正五邊形面垂線得正六百胞體，正六百胞體作類似處理也可以得正一百二十胞體。
特殊結構
大圓結構
對于正一百二十胞體來說，其與其三維類比正十二面體的不同之處之一就是構成正一百二十面體的表面——正十二面體的對面是平行的，這意味著如果把正一百二十胞體當作超球面堆砌的話，會有10個胞以平行的對面首尾相接，構成大圓（這種大圓在不同方向上有12個）。
分層結構
同時，我們也可以把其中一個上文所述的這種大圓當作“赤道”，以“緯度”把正一百二十胞體的胞分成9層，每層分別有1（北極）、12（北極圈）、20、12（北回歸線）、30（赤道）、12（南回歸線）、20、12（南極洲圈）、1（南極）個胞，每兩層的仰角相差36°。
頂點坐標
如果以其中心為原點，正一百二十胞體600個頂點坐標是以下的全排列：
(0, 0, ±2, ±2)
(±1, ±1, ±1, ±√5)
(±φ-2, ±φ, ±φ, ±φ)
(±φ-1, ±φ-1, ±φ-1, ±φ2)
及以下的全偶排列：
(0, ±φ-2, ±1, ±φ2)
(0, ±φ-1, ±φ, ±√5)
(±φ-1, ±1, ±φ, ±2)
（φ是黃金分割，(1+√5)/2）
對稱群構造
正一百二十胞體與正六百胞體一樣具有H4對稱群構造，對應施萊夫利符號{5,3,3}，Coxeter-Dynkin符號。擁有Hn對稱群的凸正多胞形屬于類五邊形形家族，這個家族在五維及以后就只有雙曲堆砌成員。
參考資料 >