正五胞體(5-cell)，又作正四面體錐(hyperpyramid)，4-單形(4-simplex)，其施萊夫利符號是3,3,3，頂點(diǎn)圖是正四面體，在正五胞體中每條棱上有三個正四面體。一般而言，它是正四面體的四維類比。
簡介
正五胞體(5-cell)，又作正四面體錐(hyperpyramid)，4-單形（4-simplex），是。
其施萊夫利符號是{3,3,3}，頂點(diǎn)圖(Vertex figure)是正四面體，在正五胞體中每條棱上有三個正四面體
一般而言，它是正四面體的四維類比
三維投影
當(dāng)我們看一個三維的物體的時候，我們看見的是它的二維投影。同樣的道理，當(dāng)四維生物看一個四維的物體的時候，它的眼中也會呈現(xiàn)一個三維的投影。不妨用我們的三維世界作為四維生物的“眼睛”，去表示一個多胞形的投影吧！
正四面體投影
我們都知道，在外面作一個正三角形，中心做一點(diǎn)向外面連線，就得到一個正四面體的投影，如右圖，這也是當(dāng)我們的眼睛正對著正四面體的一個頂點(diǎn)的時候看到的樣子。
正五胞體投影
現(xiàn)在，我們繼續(xù)類比，把正四面體的投影類比到正五胞體的三維投影上來：首先在外面做一個正四面體框架，然后找到它的幾何中心定一個點(diǎn)，再將這個點(diǎn)向“外面”的四個點(diǎn)連上線，如右下圖。
但看到這個圖你可能不理解這是個什么東西，實(shí)際上這只是一個三維的投影（圖片嘛，又要把這個三維投影再投影到二維上），正五胞體在我們這個三維世界上是不存在的，但是我們?nèi)匀豢梢匀ダ斫猓斫馑木S空間的種種奇特之處。
右圖確確實(shí)實(shí)是表現(xiàn)了正五胞體的三維投影，但實(shí)際上它不是平行投影來的，這種投影叫“施萊格爾投影”，是在它的外接球（四維的是外接一個“超球”）上取一點(diǎn)作的透視投影——這個施萊格爾投影的“內(nèi)部”的那一點(diǎn)看上去比外面四個點(diǎn)明顯要小一些。
算上“最外部”的那個四面體，正五胞體一共由五個正四面體組成，也就是有五個“胞”（cell，指組成高維多胞形的三維表面）（有 點(diǎn)廢話呵呵）之后我們就得到正五胞體的一些數(shù)據(jù)
胞(正四面體)數(shù)：5，面(正三角形)數(shù)：10，棱數(shù)：10，頂點(diǎn)數(shù)：5
球極投影
將一個多面體的表面不斷膨脹，可以讓它的所有表面變成球面。變成一個球后再將球面投影到無窮大的平面上，這就是二維球極投影(如圖)
同樣，四維的物體也可以通過球極投影把它的三維表面展現(xiàn)在三維上。將正五胞體的三維表面不斷向它的外部膨脹變成“超球”，再把超球的表面投影進(jìn)平坦的三維空間。
右圖就是正五胞體的三維球極投影，和施萊格爾投影一樣，投影中心的那個點(diǎn)實(shí)際上比外面四個點(diǎn)要小一點(diǎn)。
二維線架正投影
四維的正五胞體可以不經(jīng)過三維而直接投影到二維上，但只能表現(xiàn)一些點(diǎn)與線之間的連接關(guān)系，如下圖。
實(shí)話說這個投影是怎么寫入五個點(diǎn)的坐標(biāo)投影得到的，不過這不重要，作為四維單形的正五胞體就是這么“簡單”，作一個正五邊形，每兩點(diǎn)兩兩連線，這就是它的二維線架正投影（沒錯，是正的）
一個四維物體的二維正投影其實(shí)不止一種的，不同的投影用來抽象表現(xiàn)這個東西不同的特性，正五胞體的二維投影英文維基上有很多，但為了表現(xiàn)那些特性，或多或少都有幾條線段重合，這里略去
二胞角
多面體上有二面角，那多胞體自然有二胞角，所謂二胞角，就是兩個立體的夾角——這個在四維幾何學(xué)上經(jīng)常用到。
對于的二胞角的求導(dǎo)是要用到四維解析幾何慢慢求的，太麻煩，不妨就用類比法去求：
二維正單形是正三角形，它的“二邊角”（也就是夾角）是60°，用反三角函數(shù)表示就是arccos1/2
三維正單形是正四面體，它的二面角約是70.53°，用反三角函數(shù)表示就是arccos1/3
那么作為四維正單形的正五胞體，它的二胞角用反三角函數(shù)表示就應(yīng)該是arccos1/4，按按計算器就知道，arccos1/4≈75.52°
坐標(biāo)
正五胞體五個點(diǎn)的其中一種表示形式，不過這個就坐標(biāo)來看，這個正五胞體的外接超球的半徑卻不是1——當(dāng)然根據(jù)這個五個坐標(biāo)重新寫一個外接超球為1的十分容易。
截圖摘自英文維基百科
向更高維類比——正單形(Simplex)
點(diǎn)、線段、正三角形、正四面體、正五胞體……用這種方法一直類比下去，得到的所有東西集合在一起，就是正單形。
單形的介紹
單形(Simplex)，英文又作Simplexes或Simplices，看上去是Simple和Complex的混合，字面意思大概是簡單的復(fù)雜(Simplicial Complex，*.*)，說白點(diǎn)就是復(fù)雜空間（高維空間）的簡單的東東——可以說，一個單形的確是該空間中構(gòu)造最簡單的東西。
正單形的定義
在一個n維空間中找到n+1個點(diǎn)，使這些點(diǎn)滿足每兩個點(diǎn)距離相等，那么利用這些點(diǎn)就可以得到一個n維正單形(n-simplex)
通俗地說，正三角形就是二維正單形，正四面體就是三維正單形，正五胞體就是四維正單形。
需要說一下，這個“單形”可不是百度百科上的“晶體單形”，很多網(wǎng)站和網(wǎng)友（包括視頻“教你認(rèn)識四維空間”）所說的單形指的是四維的單形——五胞體，這里需要指正一下。單形應(yīng)該 是一個集合。
正單形的二維投影
右圖是前二十維正單形的二維投影，可以說極其簡單，截圖摘自維基百科。
數(shù)據(jù)
根據(jù)前四維單形（點(diǎn)、線段、正三角形、正四面體、正五胞體）的各維度的數(shù)據(jù)，可以推導(dǎo)到下表的這些數(shù)據(jù)。
從左到右依次是該單形的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、（三角形）面數(shù)、（四面體）胞數(shù)、超胞（四維面）數(shù)、五維面數(shù)……
0-SIMPLEX： 1
1-simplex： 2 1
2-simplex： 3 3 1
3-simplex： 4 6 4 1
4-simplex： 5 10 10 5 1
5-simplex： 6 15 20 15 6 1
6-simplex： 7 21 35 35 21 7 1
7-simplex： 8 28 56 70 56 28 8 1
8-simplex： 9 36 84 126 126 84 36 9 1
9-SIMPLEX： 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
青島地鐵10號線simplex：11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
似曾相識吧，這個數(shù)列就是楊輝三角，不過最左邊少了一行1（其實(shí)這樣“1”是存在的，屬于負(fù)一維產(chǎn)物）
正單形坐標(biāo)
正單形的坐標(biāo)很難算（詳細(xì)坐標(biāo)英文維基上有），不過如果把它放到高一維的話會簡單很多，
例如把一個正三角形放到三維，則它的三點(diǎn)坐標(biāo)可以是(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)，
同樣地一個正四面體放到四維后四個頂點(diǎn)可以是(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)
如此類推。
參考資料 >