在數(shù)學(xué)中，辛群可以指涉兩類不同但關(guān)系密切的群。我們分別稱之為 Sp(2n,F) 與 Sp(n)。后者有時(shí)也被稱作緊致辛群以區(qū)別。許多作者偏好不同的記法，通常是差個(gè)二的倍數(shù)。本條目采用的記法與矩陣的大小相稱。
Sp(2n, F)
域F上次數(shù)為2n的辛群是由2n階辛矩陣在矩陣乘法下構(gòu)成的群，記為。由于辛矩陣之行列式恒等于一，此群是的子群。
抽象而言，辛群可定義為F上一個(gè)維向量空間上保存一個(gè)非退化、斜對(duì)稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個(gè)辛向量空間V產(chǎn)生的辛群記為。
當(dāng)，有)，當(dāng)時(shí)，的真子群。
通常將域F取為實(shí)數(shù)域R、復(fù)數(shù)域C或非阿基米德局部域，如p進(jìn)數(shù)域。此時(shí)辛群是維度等于 的連通代數(shù)群。是單連通的，而 的基本群則同構(gòu)于。
的李代數(shù)可以刻劃為滿足下列條件的階方陣A：
其中 表示A的轉(zhuǎn)置矩陣，而 是下述反對(duì)稱矩陣
Sp(n)
緊辛群定義為（表四元數(shù)）上保持標(biāo)準(zhǔn)埃爾米特形式
之可逆線性變換。換言之，即四元數(shù)上的酉群。有時(shí)此群也被稱為超酉群。即單位四元數(shù)構(gòu)成之群，拓?fù)渖?a href="/hebeideji/1665761417482438564.html">同胚于三維球。
并不同構(gòu)于之前定義的。下節(jié)將解釋其間的聯(lián)系。
是維之緊致、連通、單連通實(shí)李群，并滿足
其李代數(shù)由滿足下述關(guān)系的n階四元數(shù)矩陣構(gòu)成
其中是A的共軛轉(zhuǎn)置（在此取四元數(shù)之共軛運(yùn)算）。李括積由矩陣之交換子給出。
緊辛群有時(shí)稱為酉辛群，記為。
相關(guān)聯(lián)系
以上定義之與之李代數(shù)在復(fù)化后給出相同的單李代數(shù)。此李代數(shù)記作。此李代數(shù)也就是復(fù)李群之李代數(shù)，記作。它有兩個(gè)不同的實(shí)形式：
緊致形式，即之李代數(shù)。
正規(guī)形式，即。
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