《張量分析》以線性仿射空間和多重線性代數為基礎，從代數結構、拓撲結構、導數結構三個角度系統完整地闡述了張量分析。全書共分為5章：線性空間；矢量代數和矢量分析；張量代數；張量函數和張量分析；曲線坐標。每章附有一定數量的例題和練習題。《張量分析》可作為力學專業本科生、研究生教材；數學類專業本科生、研究生參考書；高等學校教師及相關工程技術人員參考書。
簡介
個分微分幾何中研究張量場的微分運算的一支。它提供了微分幾何研究中的一種重要工具。黎曼幾何就是在張量分析的基礎上發展起來的。
在了解了張量的定義及其代數運算后，人們自然地要對張量場的導數進行研究。然而，將（r,s）型張量場在局部坐標系下的分量求導后一般并不能得到一個(r,s+1)型張量場。為了能得到一個(r,s+1)型張量場，就必須在普通導數的基礎上加上一定的補償項。設 (r,s)型張量場K的分量為，令
式中Г稱為聯絡系數，它在坐標變換xi =xi ()下的變換規則是。
于是滿足(r,s+1)型張量的變換規則
也把記為，因此l是一個算子，它把(r,s)型張量場K變成一個(r,s+1)型張量場墷K，稱墷K為張量場K的協變導數，稱墷lK為K關于變量xl 的協變導數。例如，對反變向量(即一階反變張量)場，，
對協變向量場（即一階協變張量場），，
對一階反變、一階協變張量場，
一般地說，算子墷k與墷l不可交換，墷k墷l與墷l墷k的差與聯絡的曲率、撓率有關。由此可導出一系列有用的恒等式，如里奇恒等式等，這些恒等式及各種協變導數之間的相互關系就形成了張量分析的主要內容。例如當?,ξ，α分別為數量場、反變向量場及協變向量場時，它們滿足下列關系：
式中
分別是聯絡Г的撓率張量和曲率張量。特別，當撓率為零時，有
稱這些公式為里奇恒等式。
在黎曼流形中聯絡Г常取為列維-齊維塔聯絡，這時，Г就是第二類克里斯托費爾記號。，
式中gij是伯恩哈德·黎曼度量張量的分量。當歐氏空間中采用勒內·笛卡爾直角坐標系時,{}=0，這時協變導數就化成為普通微分。
微分幾何中一些重要的微分算子在局部坐標系下可用協變導數表達出來。如向量場的散度為，
式中g=det(gij)。如α為p形式，則α 的外微分dα及伴隨外微分δα分別為
式中“∧”表示缺掉相應的指標。因而拉普拉斯算子Δ＝dδ+δd的表示式為
式中。當p=0時，即對數量場?，有
作用在數量場?上的算子
稱為第二類歐金尼奧·貝爾特拉米微分算子。有Δ2?=-Δ?。作用在數量場?上的第一類貝爾特拉米微分算子Δ1為。
參考資料 >