角平分線定理 （英文：Angle bisector theorem），角平分線成比例定理是數(shù)學中的一種定理，該定理指出三角形內(nèi)角平分線所對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例。它可以利用平面幾何中其他的知識進行證明，如全等三角形、正弦定理。與定理相似的定理是中線定理，它也描述了三角形中邊的比例關系。
角平分線定理最早的記錄可以追溯到古希臘時期，古希臘的歐幾里得在其著《幾何原本》中提出了角平分線的定義和性質(zhì)，證明了角平分線的性質(zhì)定理，即角平分線上的點到角兩邊的距離相等。
角平分線定理定理為幾何學、三角學的重要數(shù)學工具之一，可以幫助求解平面向量、解析幾何等問題。
定理內(nèi)容
從一個角的頂點引出的把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的角平分線。角平分線具有兩個基本定理。
定理1：角平分線上的點到角的兩邊線段距離相等。
逆定理：到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。
定理2：在任意三角形中，內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例。如圖，中，是角平分線，則。
逆定理：如果三角形一邊上的某個點與這條邊所成的兩條線段與這條邊的對角的兩邊對應成比例，那么該點與對角頂點的連線是三角形的一條角平分線。
推導證明
定理1逆定理證明
證明如下：
如圖，，
。
在和中
已知
公共邊
（全等三角形對應角相等）。
定理2逆定理證明
有三種方法相似法、面積法、正弦定理法分別如下：
面積法
如上圖，。
，
，故原命題得證。
相似法：
作的外接圓，延長 交于點，連接如下圖
因為，，
所以。
所以 。
因為
所以。
因為
所以。
所以
所以。
即。
正弦定理法：
作三角形的外接圓。交圓于。
由正弦定理得:
，
，
，
所以。
相關定理
中線定理
中線定理：是一種數(shù)學原理，三角形一條中線兩側(cè)所對邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍。如圖，設的邊的中點為，則有。
正弦定理
正弦定理：是三角學中的一個基本定理，它指出“在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑”，即（為外接圓半徑，為直徑）。
應用
在解三角形中的應用
通過三角形的相關幾何性質(zhì)以及對應的角平分線等條件，借助三角形的角平分線定理來構(gòu)建對應邊長之間的關系式，并綜合解三角形中的正弦(或余弦)定理等來轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)或方程、不等式、三角函數(shù)等知識來綜合與應用。
例如，在中，所對的邊分別是其中 ， ，，若的角平分線交于點，則___。
證明 ：如圖1，，，可得
由結(jié)合正弦定理可得。利用定理2，可得。
又，所以在，由余弦定理，可得，即 ，解得
。于是，。
在，由余弦定理，可得即，解得或。在，由正弦定理，可得，
解得，根據(jù)三角形中大角對大邊的性質(zhì)，知，所以。
故填答案：。
在平面向量中的應用
通過平面向量中的“數(shù)”來轉(zhuǎn)化“形”的特征問題，或數(shù)形結(jié)合，借助“形”的幾何特征利用三角形的角平分線定理來構(gòu)建對應的關系式;或借助“數(shù)”的代數(shù)屬性利用三角形的角平分線定理的逆向思維等來確定幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征等，這些都是平面向量問題中比較常用的技巧方法與綜合應用。
例如，已知平面向量滿足。當
___。
證明:由題意。
設直線與直線交于點，由，知點在線段上(不含端點)。又，結(jié)合“等和線”性質(zhì)，可知，即。又，由定理2的逆定理，知是的角平分線，即。
在等 腰 三 角 形 中，根 據(jù) 余 弦 定 理，可 得，則。在中，利用 余 弦 定 理，可 得 。所以。
故填答案：。
在平面解析幾何中的應用
通過平面解析幾何中涉及角平分線的題設條件的直接應用或角平分線性質(zhì)的內(nèi)涵挖掘，借助三角形的角平分線定理確定并構(gòu)建相應線段的比例關系，為進一步利用圓錐曲線的定義，性質(zhì)與方程來解決問題提供條件，并綜合函數(shù)與方程、三角函數(shù)、不等式以及平面向量等相關知識來合理轉(zhuǎn)化與巧妙應用。
例如，直線過雙曲線:的右焦點，與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，為原點，且，，則雙曲線Ｃ 的離心率為___。
證明:如圖3，由，知，。
在 中，。利用定理2與三角函數(shù)的定義，可得。結(jié)合三角函數(shù)的公式，可得，解得。所以雙曲線的離心率。
故填答案：。
相關文化
《幾何原本》是古希臘著名數(shù)學家歐幾里得的作品，在這本書中歐幾里得集中闡述自己的幾何思想。《幾何原本》共13卷，每卷(或幾卷一起)都以定義開頭。第一卷首先給出23個定義，如“點是沒有面積的”“線只有長度沒有寬度”等。同時也給出平面、直角、銳角、鈍角、平行線等定義，然后則是5個假設。作者先做出如下假設:(1)從某一點向另一點作直線，(2)將一條線無限延長，(3)以任意中心和半徑作圓，(4)所有的直角都相等，(5)若一直線與兩直線相交，使同旁內(nèi)角小于兩直角，則兩直線若延長，一定在小于兩直角的兩內(nèi)角的一側(cè)相交(此后的許多學者都試著證明這一假設，卻沒能成功，這引發(fā)了非歐幾何學的創(chuàng)立)。5個假設之后是5條公理，它們共同構(gòu)成了《幾何原本》的基礎。歐幾里得的《幾何原本》也是最早記錄角平分線定理相關內(nèi)容的書籍，在書中他不僅提出了角平分線的定義和性質(zhì)，還證明了角平分線的性質(zhì)定理，即角平分線上的點到角兩邊的距離相等。
參考資料 >
術(shù)語在線.術(shù)語在線.2023-12-18