中線定理（Apollonius's Theorem），又稱阿波羅尼斯定理、巴布斯定理、重心定理，是歐氏幾何中的一個定理。該定理的內容是三角形一條邊上的中線兩側所對邊平方和等于底邊一半的平方與該邊中線平方的和的兩倍。設的邊長，邊上的中線，則中線定理可以用公式表示為：，即。
中線定理是由古希臘數學家兼天文學家阿波羅尼斯（Apollonius，約公元前262~190年）首先發現。中線定理即為斯圖爾特定理在中點時的結論，可由斯圖爾特定理直接得出。
中線定理揭示了三角形的三條邊長與中線之間的關系，在幾何證題中具有較廣的應用。
簡史
阿波羅尼斯是古希臘數學家。他與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大學派前期三大數學家。中線定理是由阿波羅尼斯提出的。
1746年，愛丁堡大學數學教授斯圖爾特提出斯圖爾特定理，即如果點把的邊內分成，則。在該定理中，當，則為的中點，結論就是中線定理。斯圖爾特定理的第一個已知的證明是西姆松在1751年發表的。
定理內容
所謂中線定理，又叫阿波羅尼斯定理、巴布斯定理，其內容為三角形一條邊上的中線兩側所對邊平方和等于底邊一半的平方與該邊中線平方的和的兩倍。
如圖1，設的邊的中點為，則。
中線定理也可以表述為以表示的三條邊長，以表示上的中線，則三角形的邊與中線有以下關系:
，，。
證明方法
余弦定理法
證明:設，則在和中運用余弦定理得，
，
兩式相加得
勾股定理法
如圖2，是的中線。利用勾股定理來證明。
在中，過作于有
，
同理，有
，
并且，
那么，。
解析法
以邊的中點為原點，直線為軸，射線方向為軸正方向，如圖3，建立平面直角坐標系。
設點坐標為，點坐標為，則點坐標為。根據兩點間距離公式得
所以，又因為，所以，所以
。
向量法
如圖4，因為所以得
(這個式子記為（1）式)，(這個式子記為（2）式)
又因為為的中點，所以，（1）式與（2）式相加得
。
定理應用
中線定理揭示了三角形中三邊與主要線段間的重要關系，在幾何證題中具有較廣的應用。
例1 已知為矩形內任一點，求證：。
證明： 如圖5，連接交于，連接。由中線定理有
，
由 ，可知結論成立。
例2 設是內一條弦，且與直徑平行 ，為上一點。求證：。
證明 如圖6，過作于，則，連接。又，在中，由中線定理有 ，而
結論得證。
定理推廣
中點推廣為任意點
設為中邊上的點，則。
證明：因為，，由兩式消去項，得
。
顯然，當時，上述結論即為中線定理。當共線時，結論也成立。
三角形向四邊形推廣
若為四邊形的邊上的點，且，設與的夾角為，則有
證明：如圖7，連接，過作交于。連接，則，
結論得證。
參考資料
相關定理
泰利斯定理的逆定理設
根據中線定理的邊的中點為，則。
如果是直角，應用畢達哥拉斯定理，此式左端，由此，從這兩個式子可得。從而可知，直角三角形的斜邊上的中點到三頂點等距。這是泰利斯定理的逆定理。
畢達哥拉斯定理
若知道直角三角形的斜邊上的中點到三頂點等距，因為，根據中線定理，得，這實際上就是畢達哥拉斯定理。
斯圖爾特定理
如圖11，設點把這個邊內分成，則。
這個定理稱為斯圖爾特定理。若，則為的中點，因為， 此式就成為，這就歸結為中線定理。
證明：令，注意到，根據余弦定理，有
(這個式子稱為（3）式)，
(這個式子稱為（4）式)。因此，若在第（3）式兩端乘以，在第（4）式兩端乘以，再相加得
。結論得證
若，則為的中點，因為， 此式就成為，這就歸結為中線定理。
當三點位于同一直線上時，斯圖爾特定理也成立。
參考資料 >