在經典力學與幾何學里，所有環繞著三維歐幾里得空間的原點的旋轉，組成的群，定義為轉動群或旋轉群。
根據定義，環繞著原點的旋轉是一個保持矢量長度，保持空間取向（遵守右手定則或左手定則）的線性變換。
定義
在經典力學與幾何學里，所有環繞著三維歐幾里得空間的原點的旋轉，組成的群，定義為旋轉群。根據定義，環繞著原點的旋轉是一個保持矢量長度，保持空間取向（遵守右手定則或左手定則）的線性變換。假若，一個線形變換保持矢量長度，逆反空間取向，則稱此變換為假旋轉。
兩個旋轉的復合等于一個旋轉。每一個旋轉都有一個獨特的逆旋轉；零角度的旋轉是單位元。旋轉運算滿足結合律．由于符合上述四個要求，所有旋轉的集合是一個群。更加地，旋轉群擁有一個天然的流形結構。對于這流形結構，旋轉群的運算是光滑的；所以，它是一個李群。旋轉群時常會用SO(3) 來表示。
長度與角度
除了保持長度（保長），旋轉也保持矢量間的角度（保角）。原因是兩矢量u和v的內積可寫作：
R中的保長轉換保持了標量內積值不變，也因此保持了矢量間的角度。包括SO(3)在內的一般性情形，參見典型群。
旋轉軸
三維空間中非平凡的旋轉，皆繞著一個固定的“旋轉軸”，此旋轉軸是R的特定一維線性子空間（參見：歐拉旋轉定理）。旋轉作用在與旋轉軸正交的二維平面，如同尋常的二維旋轉。既然二維旋轉皆可以旋轉角φ表示，則任意三維旋轉則可用旋轉軸搭配旋轉角來表示。
舉例來說，繞著正z軸旋轉φ角的逆時針旋轉為
給定R中一單位矢量n以及角度φ，設R(φ,n)代表繞n軸作角度φ的逆時針旋轉，則：
??R(0,n)為相等轉換（identity transformation），n任意單位矢量；
??R(φ,n) =R(?φ, ?n)；
??R(π?+?φ,n) =R(π???φ, ?n)。
利用這些特性，參數為旋轉角φ（范圍： 0 ≤ φ ≤ π）與單位矢量n的任意旋轉有如下性質：
??若φ = 0，n可為任意單位矢量；
??若0 < φ < π，n為特定單位矢量；
??若φ = π，n為彼此反向的兩特定單位矢量；亦即，旋轉R(π, ±n)是等價的。
有限子群
SO(3)中只有很少的幾個有限子群，且它們全部是熟悉的對稱群，包括有：
??C：繞一條直線轉過角度2π/k的倍數的旋轉的循環群
??D：正k邊形的二面體群
??T：將正四面體映為自身的十二個旋轉四面體群
應用
常見的三維旋轉群有如下幾種：
正六面體：階24, 頂點8個，面6個，棱12條，均為正方形
正八面體：階24, 頂點6個，面8個，棱12條，均為等邊三角形
正十二面體：階60, 頂點20個，面12個，棱30條，均為正五邊形
正二十面體：階60, 頂點12個，面20個，棱30條，均為等邊三角形
足球：階60, 頂點60個，面32個，棱數90條，20個正六邊形，12個正五邊形
類足球(正八面體切掉角)：階24，頂點24個，面14個，棱數36條，8個正六邊形，6個正方形
參考資料 >