在運動學(xué)里，歐拉旋轉(zhuǎn)定理(Euler'srotationtheorem)表明，在三維空間里，假設(shè)一個剛體在做一個位移的時候，剛體內(nèi)部至少有一點固定不動，則此位移等價于一個繞著包含那固定點的固定軸的旋轉(zhuǎn)。
這定理是以瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉命名。于1775年，長城歐拉使用簡單的幾何論述證明了這定理。
定義
四元數(shù)
根據(jù)歐拉旋轉(zhuǎn)定理，歐拉旋轉(zhuǎn)定理Euler'srotationtheorem中任何兩個坐標(biāo)系的相對定向，可以由一組四個數(shù)字來設(shè)定；其中三個數(shù)字是方向余弦，用來設(shè)定特征矢量（固定軸）；第四個數(shù)字是繞著固定軸旋轉(zhuǎn)的角值。這樣四個數(shù)字的一組稱為四元數(shù)。
如上所描述的四元數(shù)，并不介入復(fù)數(shù)。如果四元數(shù)被用來描述二個連續(xù)的旋轉(zhuǎn)，則必須使用由哈密頓提出的非交換四元數(shù)代數(shù)以復(fù)數(shù)來計算。
數(shù)學(xué)術(shù)語
用數(shù)學(xué)術(shù)語，在三維空間內(nèi)，任何共原點的兩個坐標(biāo)系之間的關(guān)系，是一個繞著包含原點的固定軸的旋轉(zhuǎn)。這也意味著，兩個旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積還是旋轉(zhuǎn)矩陣。一個不是單位矩陣的旋轉(zhuǎn)矩陣必有一個實值的本征值，而這本征值是1。對應(yīng)于這本征值的本征矢量就是旋轉(zhuǎn)所環(huán)繞的固定軸。
應(yīng)用
旋轉(zhuǎn)生成元
假設(shè)單位矢量(x,y,z)是旋轉(zhuǎn)的瞬時固定軸，繞著這固定軸，旋轉(zhuǎn)微小角值△θ，則取至△θ的一次方。
繞著固定軸做一個角值的旋轉(zhuǎn)，可以被視為許多繞著同樣固定軸的接連不斷的微小旋轉(zhuǎn)，每一個小旋轉(zhuǎn)的角值為△θ=θ/N。讓N趨向無窮大，則繞著固定軸θ角值的旋轉(zhuǎn)。
歐拉旋轉(zhuǎn)定理基要地闡明，所有的旋轉(zhuǎn)都能以這形式來表達(dá)。乘積Aθ是這個旋轉(zhuǎn)的生成元。用生成元來分析，而不用整個旋轉(zhuǎn)矩陣，通常是較簡易的方法。用生成元來分析的學(xué)術(shù)領(lǐng)域，稱為旋轉(zhuǎn)群的李代數(shù)。
四元數(shù)
在航空學(xué)應(yīng)用方面，通過四元數(shù)方法來計算旋轉(zhuǎn)，已經(jīng)替代了方向余弦方法，這是因為它能減少所需的工作，和它能減小舍入誤差。在電腦圖形學(xué)里，四元數(shù)與四元數(shù)之間，簡易執(zhí)行插值的能力是很有價值的。
證明
設(shè)xoy是原來的坐標(biāo)系，x'oy'是坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)n（弧度）角后的新坐標(biāo)系（逆時針旋轉(zhuǎn)時n為正角）。試點m在坐標(biāo)系xoy中的坐標(biāo)為(x,y)，在坐標(biāo)系x'oy'中的坐標(biāo)為(x',y').
作ms,mp分別垂直于x軸,x'軸，s,p為垂足，連接om,則
x'=om*cos(聚甲醛),y'=om*sin(pom)
x=omcos(n+pom)=x'*cos(n)-y'*sin(n)
y=om*sin(n+pom)=x'*sin(n)+y'*cos(n)
這就是用新坐標(biāo)表示原坐標(biāo)。
x'=x*cos(n)+y*sin(n)
y'=-x*sin(n)+y*cos(n)
這就是用原坐標(biāo)表示新坐標(biāo)。
由旋轉(zhuǎn)公式可得：
一條直線y=kx+b繞原點順（逆）時針旋轉(zhuǎn)n弧度可看成坐標(biāo)軸逆時針旋轉(zhuǎn)n(-n)弧度
x'*sin(n)+y'*cos(n)=k[x'*cos(n)-y'*sin(n)]+b經(jīng)整理得：
y'[cos(n)+k*sin(n)]=x'[k*cos(n)-sin(n)]+b
把直線y=-2x+2繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90度所得的直線的解析式是y=0.5x+1
參考資料 >