二項式系數是牛頓二項式定理中的一個概念。
1665年，牛頓把二項式定理推廣到n為分數與負數的情形，給出了展開式。二項式定理(二項式 Theorem)是指(a+b)^n在n為正整數時的展開式。(a+b)^n的二項展開式共有n+1項，其中各項的系數Cnr(r∈{0，1，2，……，n})叫做二項式系數。
二項式系數在數論，圖論，統計和概率等數學分支扮演重要角色。
定義
一般二項式(x?+?y)?的冪可用二項式系數記為。廣義二項式定理把這結果推廣至負數或非整數次冪，此時右式則不再是多項式，而是無窮級數。
二項式系數對組合數學很重要，因它的意義是從n件物件中，不分先后地選取k（k為正整數）件的方法總數，因此也叫做組合數。從定義出發，把n個(1+x)項的乘積展開，其中任意k項的x和n?k項的1相乘得出一個x，故此x的系數是從n個選取k個的方法總數。把各項的x標記可以更清楚看出：當n=4,?k=2時，
，所以x的系數6等于從4項物件選取2項的方法總數。
二項式系數是楊輝三角（又稱賈憲三角）的第n+1行從左起第k+1個數，它最先由楊輝發現。
二項式系數符合等式可以由其公式證出，也可以從其在組合數學的意義推導出來。如第一式左項表示從n+1件選取k件的方法數，這些方法可分為沒有選取第n+1件，即是從其余n件選取k件；和有選取第n+1件，即是從其余n件選取k?1件。而第二式則是每個從n件選取k件的方法，也可看為選取其余n?k件的方法。
二項式定理
二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓于1664、1665年間提出。此定理指出：其中，二項式系數指... 等號右邊的多項式叫做二項展開式。二項展開式的通項公式為 其i項系數可表示為：見圖右，即n取i的組合數目。因此系數亦可表示為帕斯卡三角形(Pascal's Triangle) 二項式定理(二項式 Theorem)是指(a+b)?在n為正整數時的展開式。(a+b)?的系數表為： 1 n=0 1 1 n=1 1 2 1 n=2 1 3 3 1 n=3 1 4 6 4 1 n=4 1 5 10 10 5 1 n=5 1 6 15 20 15 6 1 n=6…………………………………………………………（左右兩端為1，其他數字等于正上方的兩個數字之和）
發現歷程
在我國被稱為賈憲三角或楊輝三角，一般認為是北宋數學家賈憲所首創。它記載于楊輝的《詳解九章算法》(1261)之中。在阿拉伯數學家卡西的著作《算術之鑰》(1427)中也給出了一個二項式定理系數表，他所用的計算方法與賈憲的完全相同。在歐洲，德國數學家阿皮安努斯在他1527年出版的算術書的封面上刻有此圖。但一般卻稱之為帕斯卡三角形，因為帕斯卡在1654年也發現了這個結果。無論如何，二項式定理的發現，在我國比在歐洲至少要早300年。 1665年，牛頓把二項式定理推廣到n為分數與負數的情形，給出了的展開式。二項式定理在組合理論、開高次方、高階等差數列求和，以及差分法中有廣泛的應用。
性質
對稱性
與首末兩段“等距離”的兩個二項式系數相等。即。
單峰性
是單峰序列。
（1）當n為偶數時，中間一項的二項式系數取得最大值。
（2）當n為奇數時，中間兩項的二項式系數相等且最大。
二項式系數的和
排列與組合
1、Cn0+Cn1+Cn2…+Cnk+…+Cnn=2^n 2、Cno-Cn1+Cn2-Cn3+……(-1)^nCnn=0 3、Cn0+Cn2+Cn4+……=Cn1+Cn3+Cn5+……=2^(n-1) 證明：由(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n 當a=b=1時，代入二項式定理可證明1 當a=-1，b=1時代入二項式定理可證明2 4.組合數的性質： （1）：C(m，n)=C（n-m，n） （2）：C（m，n+1）=C（m，n）+C(m-1，n) （3）：C（0，n）=C（n，n）=1 二項式定理二項式定理：叫二項式系數（0≤r≤n）.通項用Tr+1表示，為展開式的第r+1項，且, 注意項的系數和二項式系數的區別。二項式定理的通項公式Tr+1=C（n，r）a^（n-r）b^r 系數性質①對稱性： ②增減性和最大值：先增后減 n為偶數時，中間一項的二項式系數最大，為：Tn/2+1 n為奇數時，中間兩項的二項式系數相等且最大，為：T(n+1)/2，T[(n+1)/2+1] 賦值法掌握“賦值法”這種利用恒等式解決問題的思想. 證明：n個（a+b）相乘，是從（a+b）中取一個字母a或b的積。所以（a+b）^n的展開式中每一項都是)a^k*b^(n-k)的形式。對于每一個a^k*b^(n-k)，是由k個(a+b)選了a,（a的系數為n個中取k個的組合數（就是那個C右上角一個數，右下角一個數））。（n-k）個(a+b)選了b得到的（b的系數同理）。由此得到二項式定理。二項式系數之和: 2的n次方 而且展開式中奇數項二項式系數之和等于偶數項二項式系數之和等于2的(n-1)次方
二項式定理的推廣
二項式定理推廣到指數為非自然數的情況：形式為 注意：|x|<1 (a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n
參考資料 >
牛頓二項式定理.四川省綿陽中學.2023-12-28
裂項法導出二項式系數倒數級數.漢斯出版社.2023-12-28