ZF公理系統（外文名：Zermelo-Fraenkel set theory）全稱為策梅羅-弗倫克爾公理系統，簡稱ZF系統，是一個無矛盾的集合論公理系統，它的原始概念是集合和屬于的關系。
1895年，格奧爾格·康托爾（Cantor）提出了集合的概念，但他未對集合的概念加以限制，產生了悖論。1902年伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素（Russell）發現的集合論悖論稱為羅素悖論，ZF公理系統就是為了消除羅素悖論產生的。1908年蔡梅羅（Zermelo）發表了集合論的一個公理系統，后來經過弗蘭克爾（Fraenkel）和斯科倫（Skolem）的改進，形成了ZF公理系統。
ZF公理系統由空集存在公理、外延公理、并集存在公理、冪集存在公理、無序對公理、置換公理、無限集存在公理、基礎公理、子集公理組成。在ZF公理系統中添加選擇公理即得到在數學中使用十分廣泛的ZFC公理系統。
簡史
背景
1895年，德國數學家格奧爾格·康托爾（Cantor）提出了集合的概念，他將具有某種特定性質對象的總體稱為集合，他所開創的集合論一般稱為樸素集合論或經典集合論。由于康托爾對集合的概念未加以限制，從而導致了理論的不一致，產生了悖論。
1902年，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素發現了羅素悖論，揭示了一個基本的事實：一個集合或者是它本身的成員，或者不是它本身的成員。羅素悖論所涉及的概念都是樸素集合論中的基本概念——集合與元素，它的出現立即震動了整個數學界，引起了數學史上的第三次危機。為了消除悖論，人們開始尋找解決悖論的各種途徑和方法。
提出
1908年，蔡梅羅（Zermelo）首先發表了集合論的一個公理系統，后來經過弗蘭克爾（Fraenkel）和斯科倫（Skolem）的改進，形成了ZF公理系統。同時，蔡梅羅在提出集合論公理系統時還收入了選擇公理，稱為ZFC公理系統，這是當時在數學界引起長期爭論的一個問題，這個系統后來成為數學中使用最廣泛的系統。
基本思想
羅素悖論
在邏輯學中，悖論是指命題：由出發，可以找到一個命題，若假定，就可以推出非；若假定非，就可以推出。1902年，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素（Russell）構造了一個表示為的集合，是由所有那些不屬于自己的集合所組成。假定，因為的任何元素都滿足條件，所以，這與假定矛盾。反之，倘若假定，因為是由所有那些滿足條件的所組成，所以，這與假定矛盾。這個矛盾稱為羅素悖論。
解決矛盾
羅素悖論產生后，許多數學家開始尋找解決辦法。蔡梅羅提出了劃分公理的基本思想。劃分公理是指任給一集和一性質，則集合中一切滿足性質的元素可以匯集起來構成一集，即為一集合。此處的性質是格奧爾格·康托爾集合論意義下能以用來造集的精確性質，即一元謂詞。
根據劃分公理，可證定理：任給一集，必有的一個子集，它不是的元素，即總有為真。
證明：設為任給的一個集合，又令為劃分公理中所說的性質，則由劃分公理可知為一集，為的一個子集。證不是的一個元素，即，否則若設，即為的一個元素。由于集合中的任何元素，要么具有性質，要么具有性質，無一例外。既已設定，則也不例外，它要么具有性質，即為一非本身分子集，即有，要么具有性質，即為一本身分子集，即有。
設有性質，又因假設有，故具有性質，根據的構造可知為的一個元素，從而，即具有性質，這是矛盾的。
再設有性質，即，故為的一個元素，但因的每一元素均有性質，故作為之元素的也不例外，亦應具有性質，故有性質，又是矛盾的。
總之，在原設的前提下，哪種說法都導致矛盾，故原設不能成立，不是的元素。
根據上述定理，即可證明羅素悖論中的“一切非本身分子集的‘集’”不是一個集合。否則，若設為一集合，則由定理可知，必有一子集不是的元素，亦即應有（式1）。
既然為一集合，又是它的子集，于是應承認是一個集合，從而可問是本身分子集，還是非本身分子集。若設為本身分子集，則有，但因，故推知，矛盾于式1。再設為非本身分子集，則因為一切非本身分子集匯集起來構成的集合，從而必為的一個元素，故，又矛盾于式1，總之哪種說法都導致矛盾，這表示原設為集合一事不能成立，從而不是集合。
既然根本不是集合，那也不能問是本身分子集還是非本身分子集，從而也談不上羅素悖論的出現和存在了。
構成
空集存在公理
，該式表明，存在集合，對于任意的集合，都不屬于，這就是空集合，用表示。
外延公理
外延公理是指任一集合都是由其元素決定的。是外延公理的形式化。
并集存在公理
，該式表明，給定任意的集合，都存在一個集合以的所有元素為元素。其中表示是集合的元素。
冪集存在公理
，滿足此公理的集合是的冪集。其中是的形式表達。
無序對公理
表示對于任意集合，，都有集合。
置換公理
，其含義是，對于任何函數，如果它的定義域是一個集合，那么它的值域也是一個集合。其中是的縮寫，是的縮寫。
無限集存在公理
，其中“”是縮寫符號，。無限公理實際上是后繼存在公理，是集合的后繼集。
基礎公理
，該式表明，二元關系在每一個非空集合上都是良基的。它要求任一非空集合有一個“”極小元，把以自己為元素的集合排除掉。此公理與正則公理等價。對于任何一個非空集合都 存在它的一個元素，的任意元素都不屬于。
子集公理
，子集公理（也稱劃分公理）實際上代表著無窮多條公理。對于每一公式，都存在相應的一個子集公理。
相關理論
GB公理系統
GB公理系統式集合論的重要公理系統之一，由約翰·馮·諾依曼（John von Neumann）、貝奈斯（Bernays,Paul Isaak）、庫爾特·卡塞雷斯（Kurt G?del）等人建立。該系統中有集合和類兩個基本概念，用小寫英文字母作為集合變元，用大寫英文字母作為類變元。此外，表示是一類，表示是一集合。
區別與聯系
GB公理系統和ZF公理系統都是最重要的公理集合論系統，兩個系統都是為了避免羅素悖論、同時又保留格奧爾格·康托爾集合論中的有益成果而構造的，所以大部分公理都相同或相似。
但對于概括原則的修改，GB公理系統和ZF公理系統采取了不同的方案。ZF公理系統確認在一個已有的集合內，可以用一個謂詞造一個集，即對任何合式公式，有；GB公理系統不需要有先驗的類，直接由（直謂）公式造類，其精神更接近格奧爾格·康托爾概括原則。ZF公理系統的對象僅只“集合”一種，它們都是系統內的個體；而GB公理系統的對象除了“集合”之外，還有“真類”，它們實際上不是GB公理系統的個體，這在一定程度上帶來了不便。
推廣
ZFC公理系統
在ZF公理系統中添加選擇公理而得到的系統稱為ZFC公理系統，這個系統是數學中使用最廣泛的系統。選擇公理是指對任意集族，存在一函數使得對任意非空都有（稱為上的選擇函數）。選擇公理表明給定任意個非空集合，可以同時從每個集合中取出一個元素。
選擇公理的特性
相容性
選擇公理的相容性是指選擇公理不會導致邏輯矛盾的特性。1939年，哥德爾（Godel,K.）用兩種在ZF公理系統中構造ZFC模型的方法（內模型法）證明了這種相對相容性。
獨立性
選擇公理對于ZF公理系統的獨立性表明，存在著在ZF公理系統之上加入選擇公理的弱形式的可能（若不獨立，這種加入弱形式的辦法是無效的），甚至存在在ZF公理系統之上加入與選擇公理相矛盾命題為公理的可能（若不獨立，這種加入講導致矛盾）。
相關爭議
在策梅羅首次提出集合論公理系統后，其中的許多缺點遭到了各方面的批評。特別是斯科蘭姆1922年8月在赫爾辛基召開的第五屆堪的納維亞數學家大會上做了公理化集合論的報告,他對策梅羅公理系統提出了八點批評，其中包括策梅羅的公理系統不足以提供通常集合論的基礎等。另一方面,許多人對策梅羅公理集合論提出了改進意見。例如,策梅羅公理集合論太狹窄不足以滿足對集合論的合法需要,有許多集合不能由它產生出來,也不能夠由此造出序數的一般理論和超窮歸納法。為了彌補這一缺陷,弗蘭克爾加進一個公理組——代換公理。另外,弗蘭克爾還把公理以符號邏輯表示出來,形成了通用的ZF公理系統。
參考資料 >
Zermelo-Fraenkel Axioms.mathworld.2024-02-01