反比例函數(shù)(inverse proportional函數(shù))是一類重要的數(shù)學(xué)函數(shù)，一般地，如果兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系可以表示成（k為常數(shù)，）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。反比例函數(shù)還可以表示為的形式。此外，反比例函數(shù)的自變量不能為0。反比例函數(shù)的定義域?yàn)椋?a href="/hebeideji/6087720419503733950.html">值域為。
反比例函數(shù)圖像是一種特殊的雙曲線，其焦點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。當(dāng)k＞0時(shí)，圖像在一、三象限；k小于0時(shí)，圖像在二、四象限。k的絕對(duì)值表示的是x與y的坐標(biāo)形成的矩形的面積。此外，反比例函數(shù)的圖像既不可能與軸相交，也不可能與軸相交，其圖像只能無(wú)限的接近于軸和軸。當(dāng)比例系數(shù)時(shí)，反比例函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上也單調(diào)遞減；當(dāng)比例系數(shù)時(shí)，反比例函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增。反比例函數(shù)是奇函數(shù)，它們的圖像都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，同時(shí)也是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸為y=x或y=-x。。
反比例函數(shù)的歷史可以追溯到古希臘。但是反比例函數(shù)的具體形式直到17世紀(jì)才得以確定。在17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家沃利斯（John Wallis）首次將反比例函數(shù)引入數(shù)學(xué)中，并將其稱為“比例之反”。他將反比例函數(shù)的形式表示為，其中為常數(shù)。沃利斯的工作為后來(lái)的數(shù)學(xué)家提供了基礎(chǔ)。18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）對(duì)反比例函數(shù)進(jìn)行了深入研究，并將其應(yīng)用于數(shù)學(xué)分析和物理學(xué)中。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，反比例函數(shù)逐漸成為數(shù)學(xué)中的重要概念，在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、化學(xué)、建筑工程、病理生理學(xué)等領(lǐng)域中均有廣泛的運(yùn)用。
基本概念
函數(shù)
設(shè)是非空實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于中的每一個(gè)，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，都有確定的與之對(duì)應(yīng)，則稱是定義在上的的函數(shù)，記作，稱為函數(shù)的定義域，稱為自變量，稱為因變量。如果是函數(shù)的定義域中的一個(gè)值，則稱函數(shù)在點(diǎn)有定義。函數(shù)在點(diǎn)的對(duì)應(yīng)值稱為函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，記作或。?當(dāng)自變量在定義域內(nèi)取每一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的全體稱為函數(shù)的值域，記作。需要注意的是在函數(shù)的表達(dá)式中，表示函數(shù)關(guān)系，而表示對(duì)應(yīng)于的函數(shù)值，兩者是有區(qū)別的。函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍，而函數(shù)值則是由函數(shù)關(guān)系確定的，即只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才是相同的。
反比例函數(shù)
一般地，形如（k為常數(shù)且k≠0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，反比例函數(shù)還可以表示為的形式。此外，反比例函數(shù)的自變量不能為0。當(dāng)時(shí)，與兩種表達(dá)式形式是等價(jià)的，反比例函數(shù)的定義域?yàn)?值域為。例如與均為反比例函數(shù)。反比例函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，值越大，反比例函數(shù)的圖像越遠(yuǎn)離原點(diǎn)；值越小，越靠近原點(diǎn)。當(dāng)時(shí),值越大，反比例函數(shù)的圖像越靠近原點(diǎn)；值越小，越遠(yuǎn)離原點(diǎn)。即比例系數(shù)的絕對(duì)值越大，反比例函數(shù)的圖像距原點(diǎn)越遠(yuǎn)。
歷史沿革
古希臘時(shí)期至17世紀(jì)初
反比例函數(shù)的研究可以追溯到古希臘。古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus）在公元前4世紀(jì)提出了反比例的概念，但在古代，反比例函數(shù)的研究并不像其他函數(shù)那樣深入。直到17世紀(jì)，反比例函數(shù)的研究才得到進(jìn)一步推進(jìn)。數(shù)學(xué)家沃利斯（John Wallis）在1655年的著作《算術(shù)學(xué)與幾何學(xué)》中，首次將反比例函數(shù)作為一種特殊的函數(shù)形式進(jìn)行了討論。他描述了當(dāng)兩個(gè)量成反比例關(guān)系時(shí)，它們的乘積保持不變。這為反比例函數(shù)的研究奠定了基礎(chǔ)。
17世紀(jì)中葉至18世紀(jì)
18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）對(duì)反比例函數(shù)進(jìn)行了更加系統(tǒng)和深入的研究。他在其著作《分析通論》（Introduction in Analysin Infinitorum）中，對(duì)反比例函數(shù)的性質(zhì)和圖像進(jìn)行了詳細(xì)的分析和描述。歐拉的工作為反比例函數(shù)的理論奠定了基礎(chǔ)，并為后來(lái)的數(shù)學(xué)發(fā)展提供了重要的支持。他對(duì)反比例函數(shù)的研究不僅包括其基本性質(zhì)，還涉及到導(dǎo)數(shù)、積分等方面的研究，為進(jìn)一步的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。
18世紀(jì)末至今
隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展和應(yīng)用的拓展，反比例函數(shù)在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。例如，在牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律中，物體的加速度與作用力成正比例關(guān)系（當(dāng)物體質(zhì)量一定時(shí)）；在純電阻電路中，電壓一定時(shí)電阻與電流成反比例關(guān)系。反比例函數(shù)的應(yīng)用還擴(kuò)展到其他學(xué)科領(lǐng)域，如生物學(xué)、化學(xué)等。隨著計(jì)算技術(shù)的進(jìn)步，反比例函數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用變得更加便捷和廣泛，為解決實(shí)際問(wèn)題和推動(dòng)科學(xué)發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。
反比例函數(shù)圖像
反比例函數(shù)圖像為雙曲線
在平面上到兩定點(diǎn)的距離之差等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，常用、表示，兩焦距之間的距離叫做焦距。雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,它所表示的是雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)是、,這里。若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)是，，則此時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。
反比例函數(shù)圖像是一種特殊的雙曲線，其焦點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
證明：在轉(zhuǎn)軸公式中，即,令，得：,,以之代入方程得即或,故反比例函數(shù)為一條雙曲線，它的漸近線為軸和軸。由的例子可知，一般地，反比例函數(shù)的圖像一條雙曲線。
比例系數(shù)k的幾何意義
反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)具有兩坐標(biāo)之積為常數(shù)這一特點(diǎn)，即過(guò)雙曲線上任一一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為常數(shù)。
推導(dǎo)：如下圖所示，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)分別作軸與軸的垂線，所得的矩形的面積,因?yàn)?故,所以。
相交性
由于反比例函數(shù)中與都不為0，故反比例函數(shù)的圖像既不可能與軸相交，也不可能與軸相交，其圖像只能無(wú)限的接近于軸和軸。
性質(zhì)
單調(diào)性
單調(diào)性的定義
設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，若對(duì)內(nèi)的任意兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，恒有,則稱在內(nèi)單調(diào)遞增；若當(dāng)時(shí)，恒有,則稱在內(nèi)單調(diào)遞減，區(qū)間稱為單調(diào)區(qū)間。單調(diào)遞增函數(shù)的圖像是沿軸正向上升的曲線，單調(diào)遞減函數(shù)的圖像是沿軸正向下降的曲線，單調(diào)遞增函數(shù)和單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。
反比例函數(shù)的單調(diào)性
（1）當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、三象限內(nèi)，在每個(gè)象限內(nèi)，隨著的增大而減小，即當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上也單調(diào)遞減。
（2）當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第二、四象限內(nèi)，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨著的增大而增大，即當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增。
奇偶性
奇偶性的定義
如果函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱（即若，則）,若對(duì)于任意的都有，則稱為偶函數(shù)；若對(duì)于任意的，都有,則稱為奇函數(shù)。偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
反比例函數(shù)的奇偶性
反比例函數(shù)是奇函數(shù)，它們的圖像都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。
有界性
設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果存在一個(gè)正數(shù)，使得與任一所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式,就稱函數(shù)在內(nèi)有界。若不存在這樣的，就稱在內(nèi)無(wú)界。
反比例函數(shù)的有界性
不能籠統(tǒng)說(shuō)反比例函數(shù)是無(wú)界函數(shù)還是有界函數(shù)，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)在某些區(qū)間內(nèi)是無(wú)界的，但是在某些區(qū)間內(nèi)卻又是有界的。例如反比例函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)是無(wú)界的；但是在開區(qū)間內(nèi)是有界的。
反比例函數(shù)的求導(dǎo)與積分
導(dǎo)數(shù)
設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處有增量時(shí)，函數(shù)有相應(yīng)的增量,如果極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作,,或即,此時(shí)稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)；若上述極限不存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)。
反比例函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
反比例函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，例如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為。
積分
不定積分
在區(qū)間上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱為在區(qū)間上的不定積分，記作,其中記號(hào)稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量。由定義可知，如果是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，那么就是在區(qū)間上的不定積分，即。
定積分
設(shè)函數(shù)在上有界，在內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn),把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為,在每個(gè)小區(qū)間上任意取一點(diǎn),作函數(shù)值與小區(qū)間長(zhǎng)度的乘積,并作和式,記,如果不論對(duì)區(qū)間怎么分法，也不論對(duì)小區(qū)間上點(diǎn)怎么取法，只要當(dāng)時(shí)，和總趨近于確定的極限值，則稱這個(gè)極限值為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作,即，其中，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量，為積分區(qū)間，為積分下限，為積分上限。
反比例函數(shù)的積分
反比例函數(shù)的不定積分
反比例函數(shù)的不定積分公式可表達(dá)為，例如函數(shù)的積分公式為
反比例函數(shù)的定積分
反比例函數(shù)在（,）的定積分為。
相關(guān)概念
正比例函數(shù)
當(dāng)兩個(gè)相互有關(guān)的量和在變化過(guò)程中保持其比值不變時(shí)，稱與為正比例，記作（是一個(gè)不為0的常數(shù)），常數(shù)稱為比例系數(shù)。函數(shù)（是一個(gè)不為0的常數(shù)）叫做正比例函數(shù)。正比例函數(shù)的定義域和值域都是全體實(shí)數(shù)。
以上內(nèi)容來(lái)源于
冪函數(shù)
函數(shù)(為任意實(shí)數(shù))叫做冪函數(shù)，冪函數(shù)的定義域和值域都隨的不同而有所不同。例如的定義域是，的定義域?yàn)椤５菬o(wú)論取什么值，冪函數(shù)在內(nèi)總是有定義的，且圖像都過(guò)點(diǎn)。反比例函數(shù)可以視為是冪函數(shù)的一種特殊情況，即反比例函數(shù)為冪函數(shù)中時(shí)的情形。
應(yīng)用領(lǐng)域
物理學(xué)
反比例函數(shù)是物理學(xué)中非常重要的概念，在物理學(xué)中應(yīng)用十分廣泛。例如：反比例函數(shù)可以用來(lái)描述電阻與截面積之間的關(guān)系，即電阻與截面積成反比關(guān)系。可表示為,其中表示電阻截面積。此外，反比例函數(shù)在物理學(xué)中還可用于表示衍射劇烈程度的中央衍射亮條紋的角寬度和衍射物線寬度的關(guān)系，其表達(dá)式為(單縫)。
建筑工程
反比例函數(shù)在建筑工程中有較為廣泛的應(yīng)用，例如，可用于表示卵石混凝土28天抗壓強(qiáng)度與與配置混凝土?xí)r的水灰比之間的關(guān)系，可用式子表示為,其中為水泥標(biāo)號(hào)，為實(shí)驗(yàn)系數(shù)。
化學(xué)
反比例函數(shù)在化學(xué)中可應(yīng)用于多個(gè)方面。例如反比例函數(shù)可用于描述一定量氣體的體積與其所受壓強(qiáng)之間的關(guān)系。當(dāng)溫度一定時(shí)，一定量氣體的體積與其所受壓強(qiáng)成反比。如果氣體的壓強(qiáng)增大,體積就縮小，單位體積內(nèi)的分子數(shù)就增多，即單位體積內(nèi)的反應(yīng)物的物質(zhì)的量增加,也就是反應(yīng)物的濃度增加，因而反應(yīng)的速率加快。相反，減小壓強(qiáng)，氣體體積就擴(kuò)大，濃度減小，因而反應(yīng)速率減小。
經(jīng)濟(jì)學(xué)
在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，反比例函數(shù)應(yīng)用也較為廣泛。例如，反比例函數(shù)可以用來(lái)表示利率與貨幣需求的關(guān)系。一般情況而言，在利率較高時(shí)，無(wú)論哪一種動(dòng)機(jī)的貨幣需求都會(huì)減少；反之，在利率較低時(shí)，貨幣需求就會(huì)增加，即利率和貨幣需求是反比例函數(shù)關(guān)系。此外，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中市場(chǎng)需求函數(shù)也是一個(gè)反比例函數(shù)，市場(chǎng)需求函數(shù)可以表示為，其幾何表示為一條經(jīng)過(guò)初始價(jià)格和初始產(chǎn)量即經(jīng)過(guò)的等軸雙曲線。
病理生理學(xué)
在病理生理學(xué)中，反比例函數(shù)可用于描述動(dòng)脈血的和肺泡通氣速率之間的關(guān)系，可表示為。
參考資料 >