對于一個向量場V，其散度的體積分等于V在此體積封閉表面上的法向分量的面積分，上述定理被成為高斯定理（英文：Gauss's law），又稱為散度定理（Divergence theorem）。其公式為：
式中是邊界曲面的外側，此定理揭示了空間區域上的三重積分與沿的邊界曲面的面積分之間的關系。
高斯定理表明：通過任一閉合曲面的電場強度通量等于該曲面所包圍的所有電荷電量的代數和除以 ，與閉合面外的電荷無關。
約翰· 卡爾· 弗里德里希· 高斯(Johann Carl Friedrich Gauss）最初發現這個定理是在他研究電學問題中。他嘗試使用一種新的工具，電荷分布來解決電學問題，但發現它們之間沒有簡單的關系。于是他引入了一個新的概念電場，發現電場和電荷之間存在著一種簡單的關系即高斯定律。
高斯定理把向量場通過曲面的流動(即通量)與曲面內部的向量場的表現聯系了起來，將復雜的曲面積分計算轉化為較為簡單的三重積分運算。
高斯在電磁學領域的工作逐漸向廣泛的數學和物理領域擴展。隨著數學和物理學的發展，高斯的定理得到了各種各樣的推廣和應用。現在它不僅在電磁學中應用廣泛，還在流體力學、概率統計等許多領域中得到了廣泛的應用。
基本概念
若某封閉區域空間的邊界由光滑或分片光滑的閉曲面所圍成，函數P(x,y,z)，Q(x;y,z)，R(x.y,z)在上具有一階連續偏導數，則
式中是邊界曲面的外側，稱上式為高斯定理，也稱為高斯公式或散度定理。此定理揭示了空間區域上的三重積分與沿的邊界曲面的面積分之間的關系。
高斯定理能夠將計算復雜的曲面積分轉化為較為簡單的三重積分運算，運用高斯定理還能得出許多有用的推論。
歷史
1826年，蘇聯數學家奧斯特洛格拉特斯基（Mikhail Ostrogradsky）首先撰文發表了散度定理。由德國數學家約翰·卡爾·弗里德里希·高斯在1813年他的著作中已經研究了這一定理，只是未及時發表，因此散度定理也稱為高斯定理。隨后，在1839年，高斯發表了重要論文《關于與距離的平方成反比的吸引力或排斥力的普遍定理》，在這篇論文中他嚴格證明了Poisson方程并給出了靜電學中的高斯定理。
證明
首先假設是體單連通域，如右圖所示構建空間直角坐標系，則
其中為有界封閉區域，函數在定義域上連續，分別記為，則有
當為更一般的區域時，可以利用平行于某一坐標平面的平面將該區域分割為若干體單連通域，在這些子區域中均滿足上述公式，累加仍可得到上述結果。
同理可證：
將上述三個等式相加，即得到高斯定理。
其他形式
第一類曲面積分形式
由兩類曲面之間的聯系立即可以給出高斯公式的第一類曲面積分形式：
其中，和分別表示體積元素和面積元素，表示向量 軸的夾角，分別對應P，Q，R的微分形式中的系數。
矢量形式
高斯定理的矢量形式可以由標量形式推導而來。假設空間中的任意閉合曲面為 ，其方向為外法向，電場為 ，電荷密度為 。根據高斯定理（標量形式），我有：
注意到 和和都是向量值量，因此我們可以對上式進行矢量形式的推導。
左邊的積分式可以通過對曲面 進行微元分割，將所有微小面積元上的求和。對于微元面，其法向矢量為 因此有：
微分形式
若規定一個作用于算子如下：
其中是基向量， 是偏微分算子，分別在 三個方向上的分量。
由散度的定義式可得：
得到結果如下：
上式也稱為高斯定理的微分形式。
相關推論
（1）
（2）沿任何一個閉合曲面的曲面積分為：
（3）以下曲面積分與無關，僅與的邊界曲線有關。
標量函數與向量場積
標量函數與向量場積的高斯定理也稱為散度定理或高斯-奧斯特羅格拉德斯基定理。它表達了向量場的散度（即向量場在每一點的發散程度）與該向量場通過一個封閉曲面的通量之間的關系。
設 為一個向量場，為一個標量函數，則散度定理可以寫成下面的形式：
其中，為向量場 的散度，為三重積分的微元，S表示空間中一個有限的曲面，為該曲面上的微小面元，表示向量場在該微小面元上的法向分量。
散度定理揭示了向量場的局部性質（即其散度）與整體性質（即其通過封閉曲面的通量）之間的關系，是許多自然科學和應用領域中重要的通用原理。例如，在電磁學中，散度定理表明電場的散度和電荷密度之間存在關系，常被用于推導高斯定理和庫侖定律。
分部積分法
在電磁學中，分部積分法常常用來證明高斯定理，例如：
表示向量場的散度，表示空間中的微小體積，表示該微小體積所包含的表面表示該表面上的微小面元，表示向量場在該表面上的法向分量。
斯托克斯公式
斯托克斯公式是向量微積分中的一個基本公式，它描述了一個向量場 的旋度和與該向量場圍成的曲面的邊界之間的關系。在電磁學中，斯托克斯公式與高斯定理密切相關，可以幫助我們確定電磁場的演化規律。
它的數學表達式為：
其中，表示一個區域，表示該區域上面積元素的法向量，表示該區域的邊界，表示該邊界上長度元素的切向量。
電磁場中的高斯定理
靜電場的高斯定理
靜電場中的高斯定理表明通過任一閉合曲面的電通量與該閉合曲面內所包圍的電荷之間的量值關系，與電荷的分布無關。在電介質中有兩種電荷：自由電荷和束縛電荷。顧名思義，自由電荷是可以自由移動的電荷，束縛電荷來自于電極化。該定理是靜電場的一條基本定理。具體來說，在真空中的靜電場中，任一閉合面的電通量等于該閉合面內的電荷代數和除以真空介電常數ε?（或1/ε?倍），而與閉合面外的電荷無關，公式表示如下：
靜電場的高斯定理同樣適用于恒定電場中。
磁場的高斯定理
在磁場中，對于任意一個閉合曲面，由于磁感線是閉合曲線，即磁感線進入和傳出閉合曲面的數量總是相等的，因此通過任何閉合曲面的總磁通量必為零，稱為磁場的高斯定理，也稱磁通連續定理，它表明磁場是無源場，用公式表示如下：
磁場的高斯定理也是麥克斯韋方程組的四個方程之一。
渦旋電場的高斯定理
而磁場的環路定理為
兩者比較，顯然與是對應的，又因為
所以，與式(12)比較可知，變化的磁場元產生的渦旋電場強度為:
(2)高斯定理
仿照靜磁場高斯定理的證明可得渦旋電場的高斯定理表達式為：
庫侖定律的關系
高斯定理和庫侖定律有本質上的聯系。
高斯定理有助于解釋庫侖定律中的電荷離散分布與電場的對應關系。在應用高斯定理計算電荷采用上，我們可以將復雜的電荷分布看做一系列點電荷的疊加。庫侖定律的公式適用于點電荷，在計算電荷的時候，我們可以將連續的點電荷之間的相互作用力劃分為無窮小的力，然后集成得到庫侖定律的形式。
應用
高斯定理可以用于計算電荷分布所產生的電場強度，或者反過來，通過已知的電場強度計算出電荷分布。這個應用被廣泛用于電場分析中，例如計算電場、計算電荷分布等。
用于計算電荷分布所產生的電勢，或者反過來，通過已知的電勢計算出電荷分布。這個應用被廣泛用于電勢分析中，例如計算靜電勢、計算電荷分布等。
利用高斯定理，可以計算在一個閉合曲面內通過的電通量，從而計算出其內部的電場強度。這個應用被廣泛用于電磁感應分析中，例如計算邁克爾·法拉第電磁感應、計算電磁波等。
參考資料 >
高斯定理.術語在線.2023-05-12