斐波那契數(shù)列（英文：Fibonacci sequence），又稱黃金分割數(shù)列，因出自于意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的一道兔子繁殖問題而得名。斐波那契數(shù)列指的是形如的數(shù)列。這個數(shù)列的前兩項(xiàng)為1，從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。
斐波那契數(shù)列與黃金分割有著緊密的聯(lián)系，例如在比奈公式中就出現(xiàn)了黃金分割數(shù)，前后兩項(xiàng)的斐波那契數(shù)之比的極限恰好為黃金分割數(shù)。此外，斐波那契數(shù)也與盧卡斯數(shù)密切相關(guān)，他們都服從相同的遞歸關(guān)系，即也就是從第三個數(shù)開始，每個數(shù)等于前兩個數(shù)的和。無論是在自然界中，還是在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波納契數(shù)列都有重要的應(yīng)用與存在。
歷史由來
1202年，意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契（Leonardo 斐波那契）在他的《算盤書》（Liber Abaci）中提出了一道兔子繁殖問題。如果每對兔子(一雄一雌)每月能生殖一對白兔子(也是一雄一雌)，這些小兔子出生以后第二個月就能再生一對小兔，假定這些兔子都沒有死亡現(xiàn)象，從養(yǎng)剛出生的一對兔子開始算起，求12 個月以后會有兔子的對數(shù)。
根據(jù)問題，可以逐一列出每個月的兔子對數(shù)，如下表所示。
如果將每月的兔子數(shù)量以數(shù)列形式排列：這個數(shù)列就被稱為斐波那契數(shù)列，也稱為黃金分割數(shù)列。
1634年，此時距斐波那契去世已經(jīng)過去了400年，數(shù)學(xué)家阿爾伯特·吉拉德(Albert Girard)發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列之間有如下遞推關(guān)系，也就是從第三個數(shù)開始，每個數(shù)等于前兩個數(shù)的和。
1680年，卡西尼(G.D.Cassini)發(fā)現(xiàn)了斐波那契數(shù)列項(xiàng)間的一個重要關(guān)系式：
18世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家亞伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre)在其所著《分析集錦》(MiscellaneaAnalytica)中，給出斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)表達(dá)式。
它又稱為比奈公式，這是以最初證明它的法國數(shù)學(xué)家雅克·比奈(Jacques Binet)命名的，這是一個以無理數(shù)來表達(dá)有理數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)公式。
1753年，英國數(shù)學(xué)家西姆森·羅伯特(Simson Robert)發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列中前后兩項(xiàng)之比是下面連分?jǐn)?shù)的第n個漸進(jìn)數(shù)。
1864年，法國數(shù)學(xué)家拉梅(Lame Gabriel)利用斐波那契數(shù)列證明:應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法(歐幾里得除法)的步數(shù)(即輾轉(zhuǎn)相除的次數(shù))不大于較小的那個數(shù)的位數(shù)的5倍。這是斐波那契數(shù)列的第一次有價值的應(yīng)用。在這之后，人們又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了斐波那契數(shù)列的諸多性質(zhì)，斐波那契數(shù)列也應(yīng)用于越來越多的場景，人們也意識到這是個非常重要的數(shù)列。
基本概念
定義
斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列。在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列以如下遞歸形式定義，即前兩項(xiàng)為1，從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。斐波那契數(shù)列的每一項(xiàng)都被稱為斐波那契數(shù)。
通項(xiàng)公式
斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式有多種表達(dá)形式。
比奈公式
斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式可以使用如下表達(dá)式，這又稱為“比奈公式”，是以最初證明它的法國數(shù)學(xué)家比奈命名的，該通項(xiàng)公式給出了生成斐波那契數(shù)的方法。
該公式與斐波那契數(shù)列存在著密切的聯(lián)系。例如，公式本身就出現(xiàn)了黃金分割數(shù)，此外，可以證明該數(shù)列的前后兩項(xiàng)之比為一個漸進(jìn)數(shù)：。當(dāng)趨于無窮大時，其極限同樣為黃金分割數(shù)。
行列式形式
斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式可以由以下n階行列式來表示。該行列式對應(yīng)的矩陣也被稱為斐波那契矩陣。
矩陣、向量積的形式
斐波那契數(shù)列還可以使用矩陣和向量乘積形式來表達(dá)，如下式所示。
,
事實(shí)上，由上述公式可知，若令 ，則
可見該形式蘊(yùn)含了斐波那契數(shù)列的構(gòu)造方式。
組合數(shù)和形式
斐波那契數(shù)列通項(xiàng)表達(dá)式還可通過楊輝(賈憲)三角表示。如右圖所示，如果把楊輝三角改寫一下，按照右圖所示連線，沿著各線上所有的數(shù)字分別相加，則
第一個數(shù)：1
第二個數(shù)：1
第三個數(shù)：1+1=2
第四個數(shù)：1+2=3
第五個數(shù)： 1+3+1＝5
這些數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列恰好為斐波那契數(shù)列。因此，斐波那契數(shù)列與楊輝三角類似，同樣可以由組合數(shù)的和形式來表達(dá)，具體公式如下：
式中，表示的是不超過的最大正整數(shù)，并且。
比奈公式的證明
由遞推形式可知，斐波那契數(shù)列是一個二階循環(huán)序列。所謂的二階循環(huán)序列，指的是從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)可以表示前兩項(xiàng)的線性組合。
且多項(xiàng)式稱為該數(shù)列的特征多項(xiàng)式，如果該多項(xiàng)式存在兩個不同的根，根據(jù)二階差分方程的性質(zhì)，該二階循環(huán)序列的通項(xiàng)公式可由線性組合來表示。
利用上述結(jié)論可以證明比奈公式是斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式。
顯然，斐波那契數(shù)列也就是系數(shù)a1和a2均取1的情況，因此為斐波那契數(shù)列的特征多項(xiàng)式。
是該特征多項(xiàng)式的兩個根。
則斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式可以由以下形式表達(dá)，
代入數(shù)列的前兩項(xiàng)可解得
從而
除了上述方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法也可以證明比奈公式是斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式。
證明過程如下：
（1）證明比奈公式對于及是成立的。
把及代入比奈公式，分別可得
顯然它們分別等于斐波那契數(shù)列中的前兩項(xiàng)，因此及該公式成立。
（2）假設(shè)公式對于以及成立，其中，證明比奈公式對于也是成立的。
當(dāng)以及時，代入公式可得：
則由該數(shù)列的遞推關(guān)系可得：
這說明該命題對于也成立.，綜上，比奈公式是斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式，證畢。
性質(zhì)
斐波那契數(shù)列具有非常多的性質(zhì)，以下列出其中的一部分。
（前n項(xiàng)和）
（偶數(shù)項(xiàng)和）
（奇數(shù)項(xiàng)和）
（正負(fù)相間項(xiàng)和）
每3個連續(xù)的數(shù)中有且只有一個被 2 整除，
每4個連續(xù)的數(shù)中有且只有一個被 3 整除，
每5個連續(xù)的數(shù)中有且只有一個被 5 整除，
每6個連續(xù)的數(shù)中有且只有一個被 8 整除，
每7個連續(xù)的數(shù)中有且只有一個被 13 整除，
每8個連續(xù)的數(shù)中有且只有一個被 21 整除，
每9個連續(xù)的數(shù)中有且只有一個被 34 整除，
.......
把斐波那契數(shù)列每連續(xù)5項(xiàng)的個位數(shù)組合成一個新的數(shù)，可以得到如下的新數(shù)列。
11235,83145,94370,77415,61785,38190,99875,27965,16730,33695,49325,72910…
上述數(shù)列的個位數(shù)每60步一個循環(huán)，進(jìn)一步，最后兩位數(shù)是一個300步的循環(huán)，最后三位數(shù)是一個1500步的循環(huán)，最后四位數(shù)是一個15000步的循環(huán)，最后五位數(shù)是一個150000步的循環(huán)。
相關(guān)概念
相關(guān)恒等式
斐波那契數(shù)列滿足下列的恒等式。
卡西尼恒等式(Cassini's identity)：
奧卡捏恒等式(d'Ocagne's identity)：
卡塔朗恒等式(Catalan's identity)
西姆森恒等式(Simson's identity)
盧卡斯數(shù)列
盧卡斯數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列：盧卡斯數(shù)列與斐波那契數(shù)列有許多類似的性質(zhì)，例如，它們遵循相同的遞歸規(guī)則，即從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)之和，即：，不同的是盧卡斯數(shù)列的前三項(xiàng)為2，1，3。因此，與斐波那契數(shù)列類似，盧卡斯數(shù)列也具有“黃金分割”的性質(zhì)特征。
黃金分割數(shù)
如右圖所示，把一條線段分成兩段，使其滿足，這被稱為黃金分割。線段AC的長度為被稱為黃金分割數(shù)。
黃金分割數(shù)是自然之美的一種概括，在自然界和人類本身都能體現(xiàn)這種比例。例如，人的肚臍的高度差不多就是人身高的 0.618。黃金分割數(shù)蘊(yùn)含的美學(xué)概念在古希臘就已經(jīng)為人所運(yùn)用，如希臘時期的巴特農(nóng)神殿其高與寬的比例正好是 0.618，埃及金字塔的側(cè)棱線與底線的比例也正好是0.618。除了建筑，黃金分割還廣泛應(yīng)用于繪畫、攝影、音樂等領(lǐng)域中。
斐波那契數(shù)列與黃金分割數(shù)有著緊密的聯(lián)系，例如在比奈公式中就出現(xiàn)了黃金分割數(shù)，此外，前后兩項(xiàng)的斐波那契數(shù)之比的極限恰好為黃金分割數(shù)。斐波那契數(shù)列在自然界中的廣泛分布，與其蘊(yùn)含的這種聯(lián)系密不可分。
黃金螺旋線
如果一個矩形的長寬比為黃金分割數(shù)，該矩形被稱為黃金矩形。如右圖所示，首先在黃金矩形內(nèi)部取最大的正方形，并將其去掉，則余下的矩形同樣為黃金矩形，繼續(xù)上述操作，并按照右圖方式繪制正方形的內(nèi)接四分之一圓，將這些圓以此連接可以得到一條螺旋線，被稱為黃金螺旋線。在很多植物、動物的軀體構(gòu)造中都能看到黃金螺旋線的身影。
應(yīng)用
自然界中的存在
在自然界中，斐波那契數(shù)列廣泛存在于許多事物中。例如，同一種植物的葉子在莖上呈現(xiàn)相同的周期性排列規(guī)律，對于榆樹來說每兩片葉子繞莖一圈為一個周期，可記為1/2；類似的，中國櫻桃每五片葉子繞莖兩圈為一個周期，可記為2/5；這些數(shù)字恰好為斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)與第n+2項(xiàng)之比，許多植物的莖葉排布與這個規(guī)律有關(guān)。在生物學(xué)中，有一條“魯?shù)戮S格定律”，描述的是樹木生長過程中各個年份的枝條數(shù)，這與兔子問題類似，也構(gòu)成斐波那契數(shù)列；例如，新生的枝條往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝。此外，植物的花瓣、葉子、花蕊的數(shù)目大多數(shù)都為3、5、8、13這類斐波那契數(shù)列中的項(xiàng)，例如，梅花有5片花瓣，萬壽菊的花瓣有 13 片等等。除此之外，鹽水鳳梨表面的鱗片分布、仙人掌的結(jié)構(gòu)、向日葵種子的排列方式等存在關(guān)聯(lián)。不單是植物，一些動物的行為也與斐波那契數(shù)列有關(guān)，如蜜蜂屬進(jìn)蜂房，雄峰家系每一代的數(shù)量等。
數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)中的許多實(shí)際問題也與斐波那契數(shù)列有關(guān)，以下面的爬梯子問題為例，對于一個有十級臺階的樓梯，規(guī)定每一步只能跨一級或者兩級臺階，求爬完這個樓梯的方法數(shù)量。分析可知，爬上一級臺階只有一種方法，二級臺階有兩種方法，三級臺階有三種方法，四級臺階有五種方法，五級臺階有八種方法，六級臺階有十三種，以此類推，爬完一個n級臺階的方法數(shù)量恰好呈斐波那契數(shù)列排布（從第二項(xiàng)開始），例如爬完十級臺階的方法數(shù)量為89種。
在代數(shù)中，使用迭代的方法求得方程的正近似解恰好依次為其分子、分母均構(gòu)成一個斐波那契數(shù)列。在古典概率中，對于下列拋硬幣問題：一枚均勻的硬幣擲10次，問不連續(xù)出現(xiàn)正面的可能情形；以及連續(xù)拋一枚硬幣直到連出兩次正面為止，求發(fā)生在第n次拋擲時出現(xiàn)的可能序列數(shù)目。經(jīng)分析，兩者的可能情形數(shù)目均隨著拋擲次數(shù)的遞增呈現(xiàn)斐波那契數(shù)列排布。斐波那契數(shù)列的第n+2項(xiàng)同時也代表了集合中所有不包含相鄰正整數(shù)的子集個數(shù)。
物理學(xué)
1984年，美國科學(xué)家謝赫特曼(D.Shechtman)等人宣布在一種材料中發(fā)現(xiàn)了準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)，這改變了經(jīng)典晶體學(xué)中傳統(tǒng)的物態(tài)理論，即自然界中不存在介于晶體和玻璃體的中間形式，從此開拓了一個嶄新的研究領(lǐng)域。研究發(fā)現(xiàn)，準(zhǔn)晶體產(chǎn)生的準(zhǔn)周期性明銳衍射斑點(diǎn)分布與斐波那契數(shù)列也存在一定關(guān)聯(lián)。
參考資料 >
斐波那契數(shù)列.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)校園百科.2025-05-10
History of the d'Ocagne's identity for Fibonacci numbers.stackexchange.2023-07-09