皮卡定理可以指兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)定理，它們都是關(guān)于解析函數(shù)的值域。
基本介紹
皮卡小定理說明，如果函數(shù)f(z)是整函數(shù)且不是常數(shù)，則f(z)的值域或者是整個(gè)復(fù)平面，或者只去掉一個(gè)點(diǎn)。
這個(gè)定理在1879年證明。它強(qiáng)化了劉維爾定理：任何不是常數(shù)的整函數(shù)都一定是無界的。
函數(shù)exp(1/z)，在z=0處具有本性奇點(diǎn)。z的色相表示它的輻角，而發(fā)光度則表示絕對(duì)值。這個(gè)圖像說明了接近于奇點(diǎn)時(shí)，可以取得任何非零的值。
皮卡大定理說明，如果f(z)在點(diǎn)w具有本性奇點(diǎn)，那么在任何含有w的開集中，對(duì)任意非∞的復(fù)數(shù)值A(chǔ)，有無窮多個(gè)z使得f(z)=A，A最多只有一個(gè)例外。以上定理是說，全純函數(shù)在本性奇點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)，“無窮多次”地取到每一個(gè)有限的復(fù)值，至多有一個(gè)例外值。這個(gè)定理強(qiáng)化了卡爾·魏爾施特拉斯卡索拉蒂定理，它只保證了f的值域在復(fù)平面內(nèi)是稠密的。
這個(gè)“唯一的例外”實(shí)際上在兩個(gè)定理中都是需要的：指數(shù)函數(shù)ez是一個(gè)整函數(shù)，永遠(yuǎn)不能是零。e1/z在0處具有本性奇點(diǎn)，但仍然不能取得零。
皮卡大定理在一個(gè)更一般的形式中也是正確的，可以應(yīng)用于亞純函數(shù)：如果M是一個(gè)黎曼曲面，w 是M上的一個(gè)點(diǎn)，P1C = C∪{∞}表示黎曼球面，f : M \ {w} → P1C是一個(gè)全純函數(shù)，在w處具有本性奇點(diǎn)，那么在M的任何含有w的開子集中，函數(shù)f都可以取得除了兩個(gè)點(diǎn)以外的所有P1C的點(diǎn)。
例如，亞純函數(shù)f(z) = 1/(1 ? exp(1/z))在z = 0處具有本性奇點(diǎn)，在0的任何鄰域內(nèi)都無窮多次取得值∞；但它無法取得0或1的值。
皮卡小定理可以從皮卡大定理推出，因?yàn)檎瘮?shù)要么是多項(xiàng)式，要么在無窮遠(yuǎn)處具有本性奇點(diǎn)。
參考資料 >