相關系數是最早由統計學家卡爾·皮爾遜設計的統計指標，是研究變量之間線性相關程度的量，一般用字母 r,ρx,y或Corr(X,Y) 表示。由于研究對象的不同，相關系數有多種定義方式，較為常用的是皮爾遜相關系數。
相關表和散布圖可反映兩個變量之間的相互關系及其相關方向，但無法確切地表明兩個變量之間相關的程度。相關系數是用以反映變量之間相關關系密切程度的統計指標。相關系數是按積差方法計算，同樣以兩變量與各自平均值的離差為基礎，通過兩個離差相乘來反映兩變量之間相關程度；著重研究線性的單相關系數。相關系數 r 是一個無量綱的量，用它來描述 X與Y 的線性相關關系不受單位影響。因此人們通常用相關系數而不用協方差來判斷X與Y 相關程度。形式上可以把相關系數視為“標準化尺度下的協方差”。
需要說明的是，卡爾·皮爾遜相關系數并不是唯一的相關系數，但是最常見的相關系數，無特殊說明時相關系數一般指的都是皮爾遜相關系數，以下解釋都是針對皮爾遜相關系數。
其他常見的相關系數有秩相關系數、組內相關系數、偏相關系數等。依據相關現象之間的不同特征，其統計指標的名稱有所不同。如將反映兩變量間線性相關關系的統計指標稱為相關系數（相關系數的平方稱為判定系數）；將反映兩變量間曲線相關關系的統計指標稱為非線性相關系數、非線性判定系數；將反映多元線性相關關系的統計指標稱為復相關系數、復判定系數等。
定義
相關關系是一種非確定性的關系，相關系數是研究變量之間線性相關程度的量。由于研究對象的不同，相關系數有如下幾種定義方式。
簡單相關系數：又叫相關系數或線性相關系數，一般用字母r 表示，用來度量兩個變量間的線性關系。
定義式
其中，為X與Y的協方差，Var[X]為X的方差，Var[Y]為Y的方差
復相關系數：又叫多重相關系數。復相關是指因變量與多個自變量之間的相關關系。例如，某種商品的季節性需求量與其價格水平、職工收入水平等現象之間呈現復相關關系。
典型相關系數：是先對原來各組變量進行主成分分析，得到新的線性關系的綜合指標，再通過綜合指標之間的線性相關系數來研究原各組變量間相關關系。偏相關系數：在多要素所構成的系統中，當研究某一個要素對另一個要素的影響或相關程度時，把其他要素的影響視作常數（保持不變），即暫時不考慮其他要素影響，單獨研究兩個要素之間的相互關系的密切程度，所得數值結果為偏相關系數。
性質
這里， ，是一個可以表征 和 之間線性關系緊密程度的量。它具有兩個性質：
（1）
（2）的充要條件是，存在常數a，b，使得
由性質衍生：
a. 相關系數定量地刻畫了 X 和 Y的相關程度，即 越大，相關程度越大；對應相關程度最低；
b. X 和Y 完全相關的含義是在概率為1的意義下存在線性關系，于是 是一個可以表征X 和Y 之間線性關系緊密程度的量。當 較大時，通常說X 和Y相關程度較好；當 較小時，通常說X 和Y相關程度較差；當X和Y不相關，通常認為X和Y之間不存在線性關系，但并不能排除X和Y之間可能存在其他關系。
不相關和獨立
若X和Y不相關， ，通常認為X和Y之間不存在線性關系，但并不能排除X和Y之間可能存在其他關系；若，則X和Y不相關。
若X和Y獨立，則必有，因而X和Y不相關；若X和Y不相關，則僅僅是不存在線性關系，可能存在其他關系，如，X和Y不獨立。
因此，“不相關”是一個比“獨立”要弱的概念。
生活示例
軟件公司在全國有許多代理商，為研究它的財務軟件產品的廣告投入與銷售額的關系，統計人員隨機選擇10家代理商進行觀察，搜集到年廣告投入費和月平均銷售額的數據，并編制成相關表，見表1:
表1 廣告費與月平均銷售額相關表 單位：萬元
參照表1，可計算相關系數如表2：
相關系數為0.9942，說明廣告投入費與月平均銷售額之間有高度的線性正相關關系。
應用
概率論
【例】若將一枚硬幣拋n次，X表示n次試驗中出現正面的次數，Y表示n次試驗中出現反面的次數。計算。
解：由于，則，根據相關系數的性質推論，得。
企業物流
【例】一種新產品上市。在上市之前，公司的物流部需把新產品合理分配到全國的10個倉庫，新品上市一個月后，要評估實際分配方案與之前考慮的其他分配方案中，是實際分配方案好還是其中尚未使用的分配方案更好，通過這樣的評估，可以在下一次的新產品上市使用更準確的產品分配方案，以避免由于分配而產生的積壓和斷貨。表1是根據實際數據所列的數表。
通過計算，很容易得出這3個分配方案中，B的相關系數是最大的，這樣就評估到B的分配方案比實際分配方案A更好，在下一次的新產品上市分配計劃中，就可以考慮用B這種分配方法來計算實際分配方案。
聚類分析
【例】如果有若干個樣品，每個樣品有n個特征，則相關系數可以表示兩個樣品間的相似程度。借此，可以對樣品的親疏遠近進行距離聚類。例如9個小麥品種(分別用表示)的6個性狀資料見表2，作相關系數計算并檢驗。
由相關系數計算公式可計算出6個性狀間的相關系數，分析及檢驗結果見表3。由表3可以看出，冬季分蘗與每穗粒數之間呈現負相關()，即麥冬季分蘗越多，那么每穗的麥仁數越少，其他性狀之間的關系不顯著。
缺點
需要指出的是，相關系數有一個明顯的缺點，即它接近于1的程度與數據組數n相關，這容易給人一種假象。因為，當n較小時，相關系數的波動較大，對有些樣本相關系數的絕對值易接近于1；當n較大時，相關系數的絕對值容易偏小。特別是當n=2時，相關系數的絕對值總為1。因此在樣本容量n較小時，我們僅憑相關系數較大就判定變量x與y之間有密切的線性關系是不妥當的。
參考資料 >