第n個(gè)數(shù)的立方數(shù)指可以寫成n3的數(shù)，當(dāng)中n必為整數(shù)。立方數(shù)是邊長(zhǎng)n的立方體的體積。作為算術(shù)用語(yǔ)的“立方”，表示任何數(shù)n的三次冪。
馨折形
畢達(dá)哥拉斯把立方數(shù)擺成一種“馨折形”的數(shù)。他先在正方形格子里放上石子，放的方法是最上面一行和最左邊一列都按1、2、3、……來(lái)放石子。其他空格中的石子數(shù)，等于對(duì)應(yīng)的最上面一行和最左邊一列兩格石子數(shù)的積。然后把正方形格分割成若干個(gè)拐角形，這種拐角形就叫“馨折形”。
他發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)馨折形中所有數(shù)的和一定是一個(gè)立方數(shù)：
上面整理得：
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立方數(shù)與連續(xù)奇數(shù)和
立方數(shù)可以通過(guò)連續(xù)奇數(shù)的和來(lái)表示，這是因?yàn)槊總€(gè)立方數(shù)都是一系列連續(xù)奇數(shù)的和。
上面整理得：
幾種立方數(shù)
完美立方數(shù)
如果一個(gè)立方數(shù)等于三個(gè)立方數(shù)之和，那么它們組成的系統(tǒng)就是完美立方數(shù)
譬如下面的第二行
半立方數(shù)
半立方數(shù)為一個(gè)立方數(shù)的一半。
譬如 半立方
費(fèi)瑪與立方數(shù)
兩個(gè)立方數(shù)的和不可能為一立方數(shù)；
宇宙只存在一個(gè)數(shù)26,他是夾在一個(gè)平方數(shù)[25是5的平方]與一個(gè)立方數(shù)中間[27是3的立方]；
立方質(zhì)數(shù)
立方質(zhì)數(shù)的定義為，其中或
其他性質(zhì)
1. 五角數(shù)中僅有立方數(shù)1；
2. 和平方數(shù)不同，立方數(shù)可存在負(fù)數(shù)；
3. 雖然形狀不同，每個(gè)立方數(shù)第n個(gè)立方數(shù)同時(shí)都是第n個(gè)六角錐數(shù)，即首n個(gè)中心六邊形數(shù)之和。
4. 首n個(gè)正立方數(shù)之和為（n(n+1)/2)2，即第n個(gè)三角形數(shù)的平方。
5. 每個(gè)整數(shù)均可表示成9個(gè)或以下的正立方數(shù)之和。（華林問(wèn)題）
6. 1939年，狄克森證明只有23和239須用9個(gè)正立方數(shù)。
7. 只有一組連續(xù)三個(gè)立方數(shù)之和亦是立方數(shù)，就是3, 4, 5的立方，其和等于6的立方。
8. 在十進(jìn)制，除了1之外，僅有4個(gè)的正整數(shù)其數(shù)字立方之和等同它本身，它們?yōu)?53, 370, 371, 407，他們是n=3的自戀數(shù)。這4個(gè)三位數(shù)，亦可視為將它的數(shù)字分成三份，每份的立方之和，相似性質(zhì)的整數(shù)有無(wú)限個(gè)，如165033, 221859, 336700等。
涉及立方數(shù)和的問(wèn)題
x3+y3+z3=k的整數(shù)解
方程x3+y3+z3=3除了有4組解(1,1,1),(4,4,-5),(4,-5,4),(-5,4,4)以外，是否還有其它整數(shù)解？
方程x3+y3+z3=33有整數(shù)解(8866128975287528,-8778405442862239,-2736111468807040)
方程x3+y3+z3=42有整數(shù)解(-80538738812075974,80435758145817515,12602123297335631)
方程x3+y3+z3=114是否有整數(shù)解？
其他
立方質(zhì)數(shù)的定義為(x3-y3)/(x-y)，其中x=y+1或x=y+2。除了0以外，立方數(shù)不可能是普洛尼克數(shù)。除了0以外，立方數(shù)也不可能是連續(xù)若干個(gè)（至少兩個(gè)）數(shù)的積。除了0，1，8以外，立方數(shù)不可能是費(fèi)波那契數(shù)。除了1以外，立方數(shù)也不可能是盧卡斯數(shù)。除了0，1以外，立方數(shù)不可能是佩爾數(shù)。除了0，1以外，立方數(shù)不可能是三角形數(shù)、五角數(shù)等多邊形數(shù)。除了1以外，立方數(shù)不可能是中心平方數(shù)、中心五邊形數(shù)等中心多邊形數(shù)。除了1，8以外，立方數(shù)也不可能是斯塔尼斯拉夫·烏拉姆數(shù)列出現(xiàn)的數(shù)。除了1，226981（61的立方）以外，立方數(shù)不可能是星數(shù)。除了1以外，立方數(shù)在楊輝三角形只出現(xiàn)二次。除了0000和9999以外，立方數(shù)末4四位數(shù)不可能相同。立方數(shù)不可能是楔形數(shù)、半質(zhì)數(shù)。0以外的立方數(shù)每一位數(shù)數(shù)字相加之和，不停重復(fù)地相加到剩一位數(shù)時(shí)必定是 1, 8, 9。是否在相繼立方數(shù)之間存在一個(gè)素?cái)?shù)這一命題，對(duì)1000000000000以內(nèi)的數(shù)目是正確的。立方數(shù)是模任何整數(shù)的三次剩余；另外，如果某個(gè)整數(shù)是模任何整數(shù)的三次剩余，那么它一定是立方數(shù)。立方數(shù)的正因數(shù)個(gè)數(shù)一定是3的倍數(shù)加1。
參考資料 >