文氏圖（Venn diagram），也稱維恩圖、歐拉圖，是集合的一種直觀表示法。用一個(gè)圓或封閉曲線圍成的平面區(qū)域表示一個(gè)集合，并且在需要時(shí)把需要元素寫(xiě)在區(qū)域內(nèi)，或用區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)表示集合元素。
利用圓表示集合的做法始于18世紀(jì)的歐拉（Euler,L.）。文氏圖是由英國(guó)約翰·維恩（John Venn）在1881年發(fā)明的，對(duì)歐拉方法進(jìn)行了改進(jìn)。用叉與連鎖叉表示 “不空”的方法是麥克諾頓（McNaughton,R.）給出的。
文氏圖可表示二元集合的交集、并集、相對(duì)補(bǔ)集、絕對(duì)補(bǔ)集等運(yùn)算。在討論大于兩個(gè)以上的集合之間的關(guān)系時(shí)，文氏圖有相應(yīng)的規(guī)定。利用文氏圖解的問(wèn)題有較為常見(jiàn)的五種類型：驗(yàn)證集合公式、驗(yàn)證集合包含關(guān)系式、檢查集合命題的真假、探討關(guān)于集合的條件的相容性以及分析有限集的基數(shù)。文氏圖可用于推導(dǎo)容斥定理。
文氏圖在數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、計(jì)算機(jī)中都有相應(yīng)的應(yīng)用。如在概率論中可用文氏圖表示事件的交集、并集等。
簡(jiǎn)史
19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)界對(duì)數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的批判運(yùn)動(dòng)促進(jìn)了集合論的誕生。格奧爾格·康托爾在1874年提出了集合的定義：“一個(gè)集合就是我們的直觀或我們的思想上那些確定的、能區(qū)分的對(duì)象（它們稱為集合的元素）匯集在一起，作為一個(gè)整體來(lái)考慮的結(jié)果。”這里用匯集來(lái)定義集合是同義語(yǔ)反復(fù)。之后人們認(rèn)識(shí)到集合是一個(gè)原始的概念，不能用其他概念來(lái)定義，而只能加以描述或說(shuō)明。在集合概念產(chǎn)生后，進(jìn)一步定義了集合的子集、交集、并集、映射等系列概念。
利用圓表示集合的做法始于18世紀(jì)的萊昂哈德·歐拉（Euler,L.）。文氏圖是由英國(guó)約翰·維恩（John Venn）在1881年發(fā)明的，對(duì)歐拉的方法進(jìn)行了改進(jìn)。劍橋大學(xué)的Caius學(xué)院的彩色玻璃窗上有對(duì)他的這個(gè)發(fā)明的紀(jì)念。用叉與連鎖叉表示 “不空”的方法是麥克諾頓（McNaughton,R.）給出的。
表示方法
在文氏圖法中，如果有論域，則以一個(gè)矩形框（的內(nèi)部區(qū)域）表示論域；各個(gè)集合（或類）就以圓/橢圓（的內(nèi)部區(qū)域）來(lái)表示。常用矩形表示全集。用矩形內(nèi)畫(huà)的圓或封閉曲線表示全集的子集或。子集的補(bǔ)集可用同時(shí)在矩形內(nèi)部封閉曲線外部表示。
二集合文氏圖
利用文氏圖可以直觀地表示兩集合之間的關(guān)系。
交集
給定任意集合和，由集合和的所有共同元素組成的集合為，則稱和集合和的交集，記作。若，稱集合、不相交。
并集
給定任意集合和，由集合和的所有元素組成的集合為，則稱集合和集合的并集，記作。即有。
相對(duì)補(bǔ)集
設(shè)、為任意兩個(gè)集合，所有屬于但不屬于的元素構(gòu)成的集合稱作集合相對(duì)于集合的補(bǔ)集或相對(duì)補(bǔ)集，記作 。即。
絕對(duì)補(bǔ)集
設(shè)為全集，對(duì)任一集合關(guān)于的補(bǔ)集稱為集合的絕對(duì)補(bǔ)集，記為。即
直和
設(shè)、是任意兩個(gè)集合，把所有屬于或但不同時(shí)屬于和的元素構(gòu)成的集合稱為和的之和（也叫絕對(duì)差）記作。
多集合文氏圖
在討論幾個(gè)集合之間的關(guān)系時(shí)，需要把它們畫(huà)在同一張文氏圖上，為使其仍能表示集合間的關(guān)系，因此有如下規(guī)定：
1.在一個(gè)區(qū)域內(nèi)畫(huà)上水平影線表示該區(qū)域是空的。
2.在一個(gè)區(qū)域內(nèi)畫(huà)上叉（×）表示該區(qū)域不空，但需沒(méi)有橫線“—”與其他區(qū)域的叉相連。如下圖中的叉表示。
3. 幾個(gè)區(qū)域中至少有一個(gè)不空時(shí)，把這幾個(gè)區(qū)域都畫(huà)上叉，并用短線“-”相連，形成連鎖叉。如下圖表示。
4.若水平影線蓋上一條連鎖叉所在的某幾個(gè)區(qū)城，而不是每個(gè)區(qū)域，則認(rèn)為影線壓倒叉，有影線的區(qū)域仍是空的。如下圖表示，，等。
5.若水平影線蓋住一條連鎖叉所在的每個(gè)區(qū)域，或蓋上一條單一叉的區(qū)域，則認(rèn)為圖形表示的條件是不相容的。如下圖表示條件及是相互矛盾的。
文氏圖解
文氏圖解也稱歐拉圖解，是集合問(wèn)題的一種解法。利用文氏圖直觀地解答集合問(wèn)題稱為文氏圖解。文氏圖解的問(wèn)題有較為常見(jiàn)的五種類型：驗(yàn)證集合公式、驗(yàn)證集合包含關(guān)系式、檢查集合命題的真假、探討關(guān)于集合的條件的相容性以及分析有限集的基數(shù)。
驗(yàn)證集合公式
例如，驗(yàn)證時(shí)，作如下文氏圖，可見(jiàn)等式兩端所表示的集合都是圖中垂直影線部分，故等式成立。
驗(yàn)證集合包含關(guān)系式
例如，驗(yàn)證時(shí)，作如下文氏圖，可見(jiàn)是圖中畫(huà)有垂直影線的部分，而是圖中畫(huà)有水平影線的部分，它包含了前一種影線畫(huà)出的部分，故所驗(yàn)證的包含關(guān)系式成立。
檢查集合命題的真假
例如，有集合命題。則可發(fā)現(xiàn)，與可用同一個(gè)文氏圖表示，故命題成立。
探討關(guān)于集合的條件的相容性
例如，有一組條件要考查它們是否相容。作出這組條件的文氏圖，可見(jiàn)這組條件是矛盾的。
分析有限集的基數(shù)
例題 70個(gè)學(xué)生參加體育測(cè)驗(yàn)，獲優(yōu)秀成績(jī)情況如下：短跑31人，跳高跳遠(yuǎn)29人，投擲36人，短跑與投擲12人，三項(xiàng)均優(yōu)秀5人，跳高跳遠(yuǎn)單項(xiàng)優(yōu)秀7人，投擲單項(xiàng)優(yōu)秀15人。求獲短跑單項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù)、獲兩項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù)與未獲優(yōu)秀人數(shù)。
解答 作出文氏圖，通過(guò)分析填入數(shù)字，可知獲短跑單項(xiàng)優(yōu)秀11人，獲兩項(xiàng)優(yōu)秀者24人，未獲優(yōu)秀的8人。圖中＝｛獲短跑優(yōu)秀者｝，＝｛獲跳高跳遠(yuǎn)優(yōu)秀者｝，＝｛獲投擲優(yōu)秀者）。
相關(guān)定理
容斥原理
如果集合和集合是有限集，則容斥原理公式為：。
證明 這一定理的證明，可以采用文氏圖推導(dǎo)。由圖可得：
應(yīng)用
數(shù)學(xué)
在數(shù)學(xué)中，文氏圖常用于集合論的教學(xué)和研究中，用于直觀地表示集合之間的關(guān)系，包括并集、交集、差集等操作。文氏圖也在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中有應(yīng)用，用于表示事件之間的關(guān)系和交集等。
邏輯學(xué)
在邏輯學(xué)中，文氏圖被用于表示命題之間的邏輯關(guān)系，比如表示邏輯命題之間的交集、并集、互斥關(guān)系等。它有助于理解邏輯運(yùn)算和命題之間的邏輯關(guān)系。
計(jì)算機(jī)
在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，文氏圖被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)可視化和信息檢索中。在信息檢索中，文氏圖可以用于表示不同條件之間的關(guān)系，幫助用戶理解檢索條件的交集和并集關(guān)系。此外，文氏圖也被用于數(shù)據(jù)庫(kù)查詢優(yōu)化、布爾邏輯表達(dá)式的簡(jiǎn)化等方面。
參考資料 >
Ronald Aylmer Fisher.ucl.2024-02-04