星形線（astroid）或稱為四尖瓣線（tetracuspid），是一個有四個尖點的內(nèi)擺線，也屬于超橢圓的一種。
簡介
星形線（Astroid）星形線星形線的方程
直角坐標(biāo)方程：
參數(shù)方程：（t為參數(shù)）
它所包圍的面積為。
它與x軸圍成的區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體表面積為。
體積為。
詳細(xì)介紹
所有星形線皆可以依以下的方程式比例縮放而得：
其英文名稱得名自希臘文的星星，星形線幾乎和橢圓的漸屈線相同。
若讓一個半徑為1/4的圓在一個半徑為1的圓內(nèi)部，沿著圓的圓周旋轉(zhuǎn)，小圓圓周上的任一點形成的軌跡即為星形線。星形線的參數(shù)方程為：
星形線是一個幾何虧格為0代數(shù)曲線的實數(shù)軌跡，其方程式如下：
因此星形線為六次曲線，在實數(shù)平面上有四個尖瓣的奇點，分別是星形線的四個頂點，在無限遠(yuǎn)處還有二個復(fù)數(shù)的尖瓣的奇點，四個重根的復(fù)數(shù)奇點，因此星形線共有十個奇點。
星形線的對偶曲線是十字架形曲線，其方程式為。星形線的漸屈線為另一個二倍大的漸屈線。
一個半徑為 a之圓的內(nèi)擺線構(gòu)成的星形線，其面積為，周長為6a。
方程
直角坐標(biāo)方程：
參數(shù)方程：（t為參數(shù)）
性質(zhì)
最先對星形線進(jìn)行研究是Johann?Bernouli。星形線由于有四個尖端，所以有時也被稱為四尖內(nèi)擺線(tetracuspid)。星形線于1836年被正式定名，首次出現(xiàn)在正式出版的圖書（出版于維也納）中。星形線還有許多有趣的名稱：cubocycloid和paracycle。
星形線的周長為6*a，它所包圍的面積為.?它與x軸圍成的區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為
若星形線上某一點切線為T，則其斜率為tan(p)，其中p為極坐標(biāo)中的參數(shù)。相應(yīng)的切線方程為
如果切線T分別交x、y軸于點，則線段xy恒為常數(shù)，且為a。
星形線是由半徑為a/4的圓在半徑為a的內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)動形成的。
在第一象限，星形線也可由靠在Y軸上一個線段在重力作用下掃過的圖形
(陰影里的另一個弧是圓的一部分以做對比)
應(yīng)用
星形線與汽車門
我們知道，世界上有許多偉大的建筑，門的設(shè)計也是建筑家特別注意的。但是，最普通的門只有兩種：完整一扇和對開的兩扇。普通的房門是完整的一扇，一般的校門是對開的兩扇，而公共汽車的門不但是對開的兩扇，而且每一扇都由相同的兩半用鉸[jiǎo]鏈鉸接而成。開門關(guān)門時，以靠近門軸的半扇繞著門軸旋轉(zhuǎn)，另半扇的外端沿著連接兩個門軸的滑槽滑動，開門時一扇門折攏成為半扇，關(guān)門時又重新伸展成一扇。公共汽車的這個特殊門是根據(jù)星形線設(shè)計制造的。
星形線像夜空中光芒四射的星星，因此得名。在紙上任意作若干條長度為R的線段，使它們的兩端分別在x軸和y軸上，然后在每一象限里畫一段光滑的曲線弧，使它們與這些線段相切，這樣一條星形線就畫出來了。由畫圖過程可以看出，星形線是由一組直線包絡(luò)構(gòu)成的。
一扇折疊式的公共汽車車門可以表示成平面形式，其中O是門軸，OB為滑槽。在車門開閉過程中，定長BC的兩端分別沿x軸和y軸滑動，因此可得到一條星形線，但由于車門只是在第一象限活動，所以一扇車門實際活動的過程如上圖的形狀，它是由圓弧MN和星形線弧NP構(gòu)成。也就是說這扇車門活動的范圍，由扇形OMN的面積、三角形ONQ的面積與星形線弧所組成的曲邊三角形面積的和所組成。根據(jù)計算，它的總面積為。而一扇寬度為2a的普通車門開關(guān)的過程形成一條以2a為半徑的 圓弧，它的面積為。因此一扇折疊式車門所占的地方只占普通車門的1/4，大大節(jié)約了空間，使車輛能載更多的乘客。
參考資料 >