數(shù)學中，將某數(shù)除以零可表達為a/0，即a除以零；此式是否成立端視其在如何的數(shù)學設(shè)定下計算。一般實數(shù)算術(shù)中，此式為無意義。在程序設(shè)計中，當遇上正整數(shù)除以零程序會中止，正如浮點數(shù)會出現(xiàn)NaN值的情況。
簡介
基本算術(shù)
基本算術(shù)中，除法指將一個集合中的物件分成若干等份。例如，10個蘋果平分給5人，每人可得10/5 = 2個蘋果。同理，10個蘋果只分給1人，則他/她可得10÷1 = 10個蘋果。
若除以0又如何？若有10個蘋果，無人來分，每“人”可得多少蘋果？問題本身是沒有意義的，根本無人來，談?wù)撁俊叭恕笨傻枚嗌俑径嘤唷Ｋ裕?0÷0，在基本算術(shù)中，是無意義或未下定義的。
另一種解釋是將除法理解為不斷的減法。例如“13除以5”，換一種說法，13減去兩個5，余下3，即被除數(shù)一直減去除數(shù)直至余數(shù)數(shù)值低于被除數(shù)，算式為13÷5 = 2…3。若某數(shù)除以零，就算不斷減去零，余數(shù)也不可能小于被除數(shù)，使得算式與無窮拉上關(guān)系，超出基本算術(shù)的范疇。
早期嘗試
婆羅摩笈多（598–668年）的著作Brahmasphutasiddhanta被視為最早討論零的數(shù)學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述并不正確，根據(jù)婆羅摩多，
"一個正或負整數(shù)除以零，成為以零為分母的分數(shù)。零除以正或負整數(shù)是零或以零為分子、該正或負整數(shù)為分母的分數(shù)。零除以零是零。"830年，摩訶吠羅在其著作Ganita Sara Samgraha試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤，但不成功：
"一數(shù)字除以零會維持不變。"婆什迦羅第二嘗試解決此問題。令n/0=∞，雖然此定義有一定道理，但會導(dǎo)致悖論（參見下面）。
代數(shù)處理
若某數(shù)學系統(tǒng)遵從域的公理，則在該數(shù)學系統(tǒng)內(nèi)除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作，即a/b值是方程bx =a中x的解（若有的話）。若設(shè)b = 0，方程式bx =a可寫成 0x =a或直接 0 =a。因此，方程bx =a沒有解（當a ≠ 0時），但x是任何數(shù)值也可解此方程（當a = 0時）。在各自情況下均沒有的數(shù)值，所以1未能下定義。
除以零的謬誤
在代數(shù)運算中不當使用除以零可得出無效證明：2 = 1
由：0×1=0，0×2=0，
得出0×1=0×2。
兩邊除以零，得出0×1/0=0×2/0。
化簡，得：1=2！
以上謬論一個假設(shè)，就是某數(shù)除以0是容許的并且0 / 0 = 1。
虛假的除法
在矩陣代數(shù)或線性代數(shù)中，可定義一種虛假的除法，設(shè)a/b=ab+，當中b代表b的虛構(gòu)倒數(shù)。這樣，若b存在，則b =b；若b等于0，則0 = 0。參見廣義逆。
數(shù)學分析
對于函數(shù)y=1/x，當x→0時，y→∞；反之亦然。
擴展的實數(shù)軸
表面看來，可以藉著考慮隨著b趨向0的a/b極限而定義a/0。對于任何正數(shù)a，
而對于任何負數(shù)a，
所以，對于正數(shù)a，a/0可被定義為+∞，而對于負數(shù)a則可定義為-∞。不過，某數(shù)也可以由負數(shù)一方（左面）趨向零，這，對于正數(shù)a，a/0定義為-∞，負數(shù)a定義為+∞。由此可得（假設(shè)實數(shù)的基本性質(zhì)可應(yīng)用在極限上）：
最終變成 +∞ = ?∞，與在擴展的實數(shù)軸上對極限賦予的標準定義不相符。辦法是用沒有正負號的無限，參見下面。
另外，利用極限的比無為0/0提供解釋：
并不存在，而
若隨著x趨向0，f(x)與g(x)均趨向0，該極限可等于任何實數(shù)或無限，或者根本不存在，視乎f及g是何函數(shù)（參閱洛必達法則）。由此，0/0難以被定義為一極限。
無限接近法
2/0.1=20，2/0.01=200，2/0.001=2000，2/0.000001=2000000，……
愈接近0，所得的數(shù)愈大，所以除以0個數(shù)會變做無限大。
黎曼球
集合 C∪{∞}為黎曼球（Riemann sphere），在復(fù)分析中相當重要。
參考資料 >